Drie ter dood veroordeelde gevangenen wachten elk in een eigen cel op hun executie. (Dit is een wiskunderaadsel, geen nieuw plan van de PVV of een bericht uit de Verenigde Staten.) De gouverneur besluit om een van hen gratie te verlenen omdat het Pasen is. Hij schrijft hun namen op drie briefjes, schudt ze door elkaar en trekt blind de naam van de gelukkige. Hij belt de gevangenisbewaker met het nieuws en vraagt haar dit nog een paar dagen geheim te houden.
Dit gerucht bereikt de gevangenen die we vanaf nu A, B en C zullen noemen. Gevangene A smeekt de bewaker om informatie. Die weigert hem te vertellen wie er gratie krijgt. ‘Maar’, vraagt gevangene A haar dan: ‘Je kunt me toch wel vertellen wie van de twee anderen geëxecuteerd zal worden. Als B gratie krijgt, noem je C. Als C gratie krijgt, noem je B. En als ik gratie krijg, gooi je een muntje op om te kiezen tussen B en C.’
‘Mooi niet, als je mij een muntje ziet gooien, dan weet je dat jij gratie krijgt’, antwoordt de bewaker. ‘Zeg dan nu niets’, oppert de gevangene, ‘maar vertel het me morgenochtend.’ De bewaker denkt erover na en ze ziet niet in hoe deze informatie A zou kunnen helpen. De volgende ochtend fluistert zij hem toe dat B geëxecuteerd zal worden. A is zeer in zijn nopjes. Het gaat nu tussen hem en C. Dus waar hij eerst een kans van 1/3 had op gratie, denkt hij dat zijn kans om te overleven nu is gestegen naar 1/2.
Wat de bewaker niet wist, is dat de gevangenen met elkaar kunnen communiceren. A geeft het nieuws via klopsignalen op de waterleiding door aan C. Die redeneert net als A dat zijn kans op overleven nu 1/2 is. De vraag is: klopt de redenering van deze gevangenen? En zo nee: hoe hadden ze dan hun kansen op gratie moeten uitrekenen?
Dit is een oud raadsel, wiskundige Martin Gardner publiceerde het in 1959 in zijn legendarische column Mathematical Games in het tijdschrift Scientific American. Ik kwam het laatst weer tegen toen ik me verdiepte in de geschiedenis van het al even legendarische driedeurenprobleem. Het gevangenenraadsel is namelijk wiskundig gezien precies hetzelfde als dit tegenintuïtieve probleem.
Het (voor veel mensen verrassende) juiste antwoord is dat gevangene A een kans van 1/3 op gratie heeft en gevangene C een kans van 2/3. Gevangene A krijgt geen extra informatie over zijn eigen kansen, hij zal altijd B of C te horen krijgen van de bewaker. In beide gevallen blijft zijn kans om gratie te krijgen 1/3, onveranderd ten opzichte van het begin. En omdat de kansen op moeten tellen tot 1 en B gegarandeerd geëxecuteerd wordt, stijgt de kans op gratie voor C tot 2/3.
Voor wie dit moeilijk te geloven vindt, op internet zijn vele, langere uitleggen te vinden, en voor de liefhebber zijn er ook allerlei andere puzzels en problemen met gevangenen. Het is mij eigenlijk een raadsel waarom zoveel brave wiskundigen een voorliefde hebben voor dit soort lugubere vraagstukken.
Deze column verscheen op 18 april 2025 in de Volkskrant.
