Bij een bewijs uit het ongerijmde neem je het tegenovergestelde aan van wat je wilt bewijzen

Lieve Ionica,
Ik fietste laatst met onze dochter van bijna 6 over de campus waar ik twintig jaar geleden studeerde. Ik probeerde uit te leggen wat een universiteit is, en dat je daar na de basisschool en de middelbare school nóg meer leren kunt. Lijkt je dat leuk? ‘Nee, dan ben ik denk ik al zo oud, dan neem ik een kat en dan ga ik daarvoor zorgen.’ Hoe zorg ik dat deze eigenzinnigheid nooit verdwijnt? – Jan Haas

Beste Jan,

Wat denk ik met veel plezier terug aan mijn jaren op de betonnen campus van de TU Delft. De knappe jongens bij wie ik achter op de fiets zat. De cursus kleinkunst in het cultureel centrum. En niet te vergeten hoe ik als wiskundestudent verliefd werd op de schoonheid van een bewijs uit het ongerijmde.

Bij zo’n bewijs neem je het tegenovergestelde aan van wat je wilt bewijzen. Vervolgens leid je via de ijzeren wetten van de logica beweringen af die uit deze aanname volgen, net zo lang tot je een tegenspraak krijgt: een bewering die niet waar is. Vervolgens moet je concluderen dat de aanname waarmee je begon niet waar kan zijn en is je bewijs klaar.

Tijdens mijn studie oefende ik dit principe met onderwerpen die vooral leuk zijn voor wiskundigen (de wortel uit 2 is geen breuk, er bestaan oneindig veel priemgetallen), maar laat ik nu een voorbeeld geven dat past in de leefwereld van uw dochter. In een kring met dertien meisjes en dertien jongens zal er altijd een kind zijn dat tussen twee meisjes inzit.

Om deze bewering te bewijzen vanuit het ongerijmde, nemen we aan dat er wél zo’n kring mogelijk is waarbij geen enkel kind tussen twee meisjes zit. Vervolgens definiëren we een meisjesblok als een groepje meisjes dat naast elkaar in de kring zit – aan weerszijden ingeklemd tussen jongens. Er kan geen blok van drie meisjes bestaan, want dat zou het middelste meisje tussen twee andere meisjes zitten en we hebben aangenomen dat dit níét zo was. Met maximaal twee meisjes per meisjesblok en dertien meisjes in de kring moeten er minstens zeven meisjesblokken zijn.

Tussen elke twee meisjesblokken moeten minstens twee jongens zitten. Als het maar één jongen was, dan zou hij tussen twee meisjes zitten en dat gaat weer in tegen onze aanname. Er zijn minstens zeven gaten tussen de minstens zeven meisjesblokken en in elk gat moeten steeds minstens twee jongens zitten. Er moeten daarmee minstens veertien jongens in de kring zitten, terwijl het er maar dertien waren. Dit is onze tegenspraak, we moeten onze eerste aanname verwerpen. Er bestaat geen kring van dertien jongens en dertien meisjes waarbij er geen enkel kind tussen twee meisjes zit.

Terug naar uw vraag. Ouders doen allerlei aannamen over wat er goed is voor hun kind. Bij tegenspraak is het verleidelijk om meer uit te leggen en om te proberen uw kind de richting op te duwen die u het beste leek. Maar als u de eigenzinnigheid van uw dochter wilt koesteren, dan adviseer ik u om flexibel te zijn als een wiskundige. Durf uw eigen aannamen te verwerpen als u een tegenspraak tegenkomt.

Deze column verscheen op 10 november 2023 in de Volkskrant.

Nieuwe adviesvragen zijn van harte welkom. Liefst persoonlijke vragen die op het eerste gezicht he-le-maal niets met wiskunde te maken hebben. U kunt ze insturen via ionica@volkskrant.nl.

Lees hier ook de andere columns van de reeks.

Heeft Frans Timmermans meer kans op het premierschap zonder baard?

Beste Ionica,
Maakt Frans Timmermans meer kans premier te worden als hij zijn baard afscheert? Ik denk dat het hem veel jonger (en aantrekkelijker) zal maken.
Tjaarda Mees

Beste Tjaarda,
Er bestaan verschillende opvattingen over kansen. Bij de frequentie-interpretatie kijk je naar hoe vaak een gebeurtenis voorkomt in een zeer lange reeks experimenten. Om de kansen van Timmermans in te schatten, zou je kunnen kijk naar hoeveel baarddragers er in het verleden premier werden. Dat lijken er sinds de Tweede Wereldoorlog precies nul. Je zou moeten corrigeren voor de hoeveelheid baarddragers die er waren onder de premierskandidaten. Maar ook dan krijg je geen goede schatting. De reeks is te kort en verkiezingen lijken te weinig op een kansexperiment om een zinvolle berekening te maken.

Frans Timmermans, afbeelding van GroenLinks-PvdA

Het bayesiaanse kansbegrip ziet een kans als een redelijke verwachting. Dat past hier misschien beter. Volgens de stelling van Bayes is de voorwaardelijke kans dat Timmermans premier wordt als hij zijn baard afscheert gelijk aan de kans dat hij zijn baard afscheert als hij premier wordt maal de kans dat hij premier wordt gedeeld door de som van de kans dat hij zijn baard afscheert als hij premier wordt maal de kans dat hij premier wordt en de kans dat hij zijn baard afscheert als hij geen premier wordt maal de kans dat hij geen premier wordt. (‘Vermijd formules in je column’, zeiden ze, ‘anders raak je lezers kwijt.’)

Kortom: het is niet zo makkelijk om uit te rekenen wat de kans is dat Frans Timmermans premier wordt als hij zijn baard afscheert. Het afscheren van zijn baard zal overigens niets veranderen aan de aantrekkelijkheid van zijn politieke ideeën. En het al dan niet dragen van een baard verandert ook niets aan iemands leeftijd.

Als u geïnteresseerd bent in letterlijke verjonging van de politiek, dan zou u eens kunnen kijken naar de nieuwe partij LEF. Deze partij heeft als missie ‘meer jongeren naar de stembus en meer jongeren in de politiek’. De jongste kandidaat op hun lijst is 15 jaar.

Dit is een wonderlijk verschijnsel. Je moet in Nederland 18 jaar zijn om te stemmen en ook 18 jaar zijn om geïnstalleerd te worden als lid van de Tweede Kamer. Maar je mag je al kandidaat stellen als je 14 bent. Dat komt door deze formulering in de Kieswet:

‘De naam van een kandidaat mag niet voorkomen op een lijst, indien de kandidaat tijdens de zittingsperiode van het orgaan waarvoor de verkiezing zal plaatshebben, niet de voor het zitting nemen in dat orgaan vereiste leeftijd zal bereiken.’

Deze formulering is bijna net zo ingewikkeld als de stelling van Bayes. Maar er staat dus dat je níét op de kieslijst mag als je geen 18 wordt in de vier jaar waarvoor de Tweede Kamer wordt benoemd. Dus het mag vanaf je 14de! Als je dan verkozen wordt, moet je wel wachten tot je 18 bent, voor je geïnstalleerd wordt.

Vier van de kandidaten van LEF zijn minderjarig. Geen van hen heeft een baard.

Deze column verscheen op 3 november 2023 in de Volkskrant.

Nieuwe adviesvragen zijn van harte welkom. Liefst persoonlijke vragen die op het eerste gezicht he-le-maal niets met wiskunde te maken hebben. U kunt ze insturen via ionica@volkskrant.nl.

Lees hier ook de andere columns van de reeks.

Is Met het mes op tafel een oneerlijke quiz? De kandidaat links moet vaak als eerste weg

Geachte Ionica Smeets,
Ik vraag uw hulp voor een wonderbaarlijk fenomeen bij de televisiequiz Met het mes op tafel. Hierbij zitten drie kandidaten rondom presentator Herman van der Zandt. De kandidaat links van Herman mag altijd beginnen. Het valt me op dat deze kandidaat heel vaak als eerste moet vertrekken, wegens de laagste score. Is dit een oneerlijkheid in deze quiz?
Jeroen Kuyt

Wat grappig! Wij wedden thuis altijd op welke kandidaat zal winnen en dit fenomeen was ons nog nooit opgevallen. Voordat ik hier een conclusie over trek, zou ik eerst de data willen hebben van zeker vijftig uitzendingen. Mocht u hier een overzicht van hebben (of willen maken), dan houd ik me aanbevolen.

Ionica,
Hierbij stuur ik u de data van de vijftig laatste afleveringen. De kandidaat links van Herman moest eenentwintig keer als eerste naar huis, de middelste kandidaat twintig maal en de rechterkandidaat slechts negen keer. Dat is wel een heel scheve verdeling. Wat zal Herman hiervan vinden?
Jeroen Kuyt

Wauw, allereerst veel dank voor uw noeste telwerk. Onlangs werd bekend dat Herman van der Zandt stopt als presentator. Misschien is deze oneerlijkheid wel de oorzaak van zijn vertrek! Het verschil tussen de linker-en middelste kandidaat is verwaarloosbaar, maar de rechterkandidaat komt er wel heel gunstig vanaf.

Zou dat door het spelmechanisme komen? De quiz wordt gespeeld om geld en in ronden. Op Wikipedia staat een uitgebreide uitleg van de regels, voor nu kijk ik alleen naar wat er gebeurt tot er één kandidaat afvalt.

Aan het begin van elke ronde doen de kandidaten een bedrag in de pot, dat bedrag loopt op tijdens het spel. Vervolgens krijgen de kandidaten vier kennisvragen (‘In welke provincie ligt Uithoorn?’) waarvan ze de antwoorden opschrijven – zichtbaar voor de kijkers, maar onzichtbaar voor hun tegenstanders. Daarna volgt een soort pokerspel met hun aantal goede antwoorden. De kandidaten mogen om de beurt als eerste inzetten of passen en de anderen kunnen meegaan, verhogen of passen.

© Refkele Steemers/MAX

Dan geeft de presentator de goede antwoorden en mogen de overgebleven kandidaten nogmaals inzetten of passen. Daarna moet de speler die begon met inzetten onthullen hoeveel antwoorden hij of zij goed had. De anderen mogen dan nogmaals inzetten. Hierbij kan er heerlijk worden gebluft. Al de eerste kandidaat bekent maar twee goede antwoorden te hebben, kan een tegenstander met nul goede antwoorden met zoveel overtuiging 50 euro bijzetten dat die eerste kandidaat past. Na vier ronden moet de kandidaat die het minste geld overheeft het spel verlaten.

Zoals u heeft geturfd, lijkt dat sterk in het voordeel van de kandidaat die rechts zit. Is dat omdat die twee keer als laatste mag inzetten, zowel bij de eerste als bij de vierde ronde? Of zit het voordeel vooral in die laatste ronde, waarbij de pot het hoogste is?

Of is dit misschien een correlatie die helemaal geen causaliteit is? Met het mes op tafel heeft een uitgebreide selectieprocedure. Zou de redactie misschien om de een of andere reden de kandidaat die ze als het meest kansrijk inschatten op rechts zetten? Of is dit een patroon dat alleen in deze vijftig afleveringen zat?

Misschien kunnen de makers als ze een nieuwe presentator zoeken, voor de zekerheid ook nog eens goed kijken naar de opzet van de ronden.

Deze column verscheen op 27 oktober 2023 in de Volkskrant.

Nieuwe adviesvragen zijn van harte welkom. Liefst persoonlijke vragen die op het eerste gezicht he-le-maal niets met wiskunde te maken hebben. U kunt ze insturen via ionica@volkskrant.nl.

Lees hier ook de andere columns van de reeks.

De truc met de wiebelende tuintafel

Beste Ionica,

Wij hebben een wiebelende tuintafel met vier poten, maar vroeger was dit een driepotige versie. Het intrigeert mij al heel lang waarom die driepotige tafel altijd stabiel stond op ons niet volledig vlakke terras. Met een poot erbij is het een heel ander verhaal. Nu weet ik nog van mijn wiskundelessen dat twee punten een lijn vormen. Drie punten vormen een vlak – mits ze niet op één lijn liggen. En daarna weet ik het niet meer. De relatie met vier poten en een ongelijk terras is me niet helemaal duidelijk. Ik ben ervan overtuigd dat jij hier je heldere licht over kunt laten schijnen.

Hugo de Vries

Beste Hugo,

Uw inzending voldoet niet geheel aan de regels van deze rubriek, want u stelt me helemaal geen vraag. En zelfs als ik de impliciete vraag uit uw tekst haal, bent u niet op zoek naar advies. Maar ik zal doen zoals de gemiddelde reageerder op sociale media en u ongevraagd advies geven. Hier komt het: probeert u eens om uw vierpotige tafel rond het middelpunt draaien tot hij niet meer wiebelt. Als uw terras niet al te wild ongelijk is, dan werkt deze truc altijd.

Zoals u zich correct herinnert, spannen drie punten één vlak op. Voor een driepotige tafel komt dat mooi uit, want waar u de drie poten ook neerzet, de uiteinden liggen alledrie in één vlak en uw tafel zal stabiel staan (in het algemeen, onder een aantal basisaannamen over de lengte van de tafelpoten, andere eigenschappen van uw tafel en de hoogteverschillen binnen uw terras).

Bij een tafel met vier poten vormt een drietal van poten zo’n mooi stabiel geheel, maar de vierde poot bungelt er vaak bij als het vijfde wiel aan de wagen. Een tafel met drie poten op het terras en één die er in de lucht zweeft, wiebelt als u erop leunt.

Vele wiskundigen gingen u voor in deze observatie én zochten naar een oplossing. Het basisidee is al meer dan vijftig jaar oud. U draait de tafel zo om het middelpunt dat drie van de poten steeds op de grond blijven. Als de tafel een kwartslag gedraaid is, zou de vierde poot onder de grond moeten zitten. Als u het lastig vindt om zich dit voor te stellen, Oliver Knill van Harvard heeft een mooie animatie hiervan op zijn website (advies: zet uw geluid uit).

Als de vierde tafelpoot eerst boven de grond hing en daarna onder de grond zou komen, dan is dankzij de tussenwaardestelling de onvermijdelijke conclusie dat er een moment bestaat dat de vierde tafelpoot precies op de grond staat. En omdat de andere drie poten op de grond bleven, staan de vier poten van uw tafel nu alle vier op uw terras. Hij wiebelt niet meer!

En als uw terras niet al te grote hoogteverschillen heeft, dan staat hij nog recht ook. Wiskundige Burkard Polster, die dit in 2005 bewees, heeft ook nog een praktisch advies. In de praktijk gaat het draaien het makkelijkst als u de poot schuin tegenover de wiebelende poot optilt tot de twee poten ongeveer even ver van de grond zijn. En dan maar draaien tot het wiebelen stopt.

Deze column verscheen op 20 oktober 2023 in de Volkskrant.

Nieuwe adviesvragen zijn van harte welkom. Liefst persoonlijke vragen die op het eerste gezicht he-le-maal niets met wiskunde te maken hebben. U kunt ze insturen via ionica@volkskrant.nl.

Lees hier ook de andere columns van de reeks.

Slecht met cijfers? Het helpt al als u wat vaker gaat denken dat getallen geweldig zijn

Ik heb geen wiskundeknobbel, hoe kan dat? – Cor Schoon

Ik heb de pest aan rekenen en cijfers in het algemeen. Heb je voor mij rekenkundige hulp, want ik wil deze kleine smet in mijn leven toch graag een beetje wegpoetsen. – Dick Termond

Ik kon op de basisschool niet goed rekenen en worstelde tijdens mijn opleiding met statistiek. Kan ik nu toch nog leren om rekenen goed aan te kunnen en wellicht zelfs leuk te vinden? – Paula Breeman

Kun jij verklaren waarom ik wel goed ben in taal, maar slecht (maar dan ook echt slecht) in rekenen en wiskunde? – Wytzke van der Leij

Beste Cor, Dick, Paula en Wytzke,

Deze week moest ik aan u denken toen ik weer #girlmath oftewel #meisjeswiskunde voorbij zag komen. Bij dit verschijnsel reken je jezelf rijk met drogredeneringen zoals: ‘Als je iets van 40 euro koopt en daarna terugbrengt naar de winkel en vervolgens iets koopt van 50 euro, dan heb je maar 10 euro uitgegeven.’ Ik vind #girlmath niet zo heel grappig, omdat slecht zijn in wiskunde (ongeacht of je een girl bent) niet iets is om te cultiveren.

Er is de laatste jaren, geheel terecht, veel aandacht voor laaggeletterdheid. Er bestaan allerlei vormen van nascholing en hulp voor volwassenen en ook wordt ervoor gezorgd dat steeds meer belangrijke teksten zoals overheidsbrieven en bijsluiters geschreven zijn in begrijpelijke taal.

Er is een stuk minder aandacht voor laaggecijferdheid. Terwijl we weten dat ook laaggecijferdheid grote gevolgen heeft: daardoor zijn mensen bijvoorbeeld makkelijker te misleiden, hebben ze meer kans op financiële problemen en nemen ze minder goede medische beslissingen. Er is een verband tussen laaggeletterdheid en laaggecijferdheid, maar er zijn ook mensen die hooggeletterd en laaggecijferd zijn (zoals minstens een van u).

Onderzoekers maken verschil tussen objectieve laaggecijferdheid, die je meet met allerlei getallen-en-reken-testjes, en subjectieve laaggecijferdheid, die je meet door aan mensen te vragen hoe goed ze denken te zijn met getallen. Als ik op uw brieven afga, scoort u allen laag op subjectieve gecijferdheid. Nu is het goede nieuws dat voor sommige beslissingen het belangrijker is om te denken dat je goed bent met cijfers dan om werkelijk goed te zijn met cijfers. U kunt dus beginnen met te werken aan uw zelfbeeld.

U leest deze getallenrijke column al in uw vrije tijd, dus u bent eigenlijk veel beter bezig dan de pakweg 98,8 procent van de Nederlandse bevolking die dat niet doet. Als u wat vaker gaat denken dat getallen geweldig zijn (En dat zijn ze! Neem nu het getal 12.345.678.910.987.654.321 dat alleen maar deelbaar is door één en zichzelf), dan stijgt uw subjectieve gecijferdheid. Als u iets wilt doen aan uw objectieve gecijferdheid, dan zal dat meer werk kosten. Er bestaan boeken, cursussen en tutoren, maar het zal toch vooral neerkomen op zelf veel tijd erin steken.

Maar dit is niet alleen úw probleem. Eigenlijk moet ervoor worden gezorgd dat cruciale informatie niet alleen begrijpelijk is voor laaggeletterden, maar ook voor laaggecijferden.

Deze column verscheen op 13 oktober 2023 in de Volkskrant.

Nieuwe adviesvragen zijn van harte welkom. Liefst persoonlijke vragen die op het eerste gezicht he-le-maal niets met wiskunde te maken hebben. U kunt ze insturen via ionica@volkskrant.nl.

Lees hier ook de andere columns van de reeks.

Hoeveel moeite moet ik doen om iemand te bedanken voor een digitale felicitatie?

Lieve Ionica,

De felicitatiekaart is inmiddels vervangen door een hele berg berichtjes via WhatsApp en andere digitale media. De kaart was altijd leuk: meestal een mooi plaatje en je kon hem bekijken zonder verdere verplichtingen. Digitaal komt zo’n bericht veel indringender binnen en ik weet nooit of ik nu moet bedanken hiervoor en wanneer. Weet jij een oplossing?

Astrid Manhoudt

Beste Astrid,

Toevallig ben ik deze week jarig en ik was al aan het mijmeren over de manier waarop de moeite die iemand in een felicitatie steekt omgekeerd evenredig is met de snelheid waarmee diegene een reactie krijgt. Mijn tante maakt elk jaar zelf een kaart, beschrijft die met sierlijke letters en loopt speciaal voor mij naar de brievenbus. Zij hoort daarna tijden niets. Terwijl een collega die tijdens het poepen een appje stuurt met ‘Gefeliciteerd – emoji met feesthoed en toeter’ kan rekenen op een prompt ‘Dankjewel – duimpje omhoog’.

Misschien komt het doordat digitale berichten zoals u al schrijft veel indringender binnenkomen. Bij papieren post heb ik in mijn achterhoofd een lijstje van wie ik nog moet terugschrijven. Degene die me als eerste schreef, krijgt als eerste antwoord. Bij voorraadbeheer heet deze methode first-in-first-out.

Bij appjes, mails en sociale media staan de nieuwste berichten bovenaan. En ik beantwoord ze doorgaans van boven naar beneden. Degenen die hun berichtje als laatste stuurden, krijgen dus als eerste antwoord. Bij voorraadbeheer noemt men deze aanpak last-in-first-out.

Bij het boekhouden van voorraden ontstaan er grote verschillen tussen deze twee methoden zodra er sprake is van inflatie. Stel dat je handelt in luxe neusfluiten. Begin dit jaar kocht je die in voor 50 euro per stuk. Tijdens de zomer is de inkoopprijs gestegen naar 60 euro. Aan het begin van september had je als voorraad nog twintig van de oude in je magazijn liggen en dertig van de nieuwe. Je voorraad staat daarmee in de boeken voor 2.800 euro.

September bleek een goede neusfluitenmaand en je verkocht vijfentwintig neusfluiten. Als je first-in-first-out gebruikt, dan verkoop je eerst de twintig oudere neusfluiten en dan vijf van de nieuwe. Je overgebleven voorraad staat dan in de boeken voor 1.500 euro.

Als je last-in-first-out hanteert, dan verkoop je vijfentwintig van de nieuwe neusfluiten. Je overgebleven voorraad komt dan op 1.300 euro. Dat is 200 euro minder dan bij de andere methode. Dit heeft allerlei belastingtechnische gevolgen en het last-in-first-out-systeem is op veel plekken verboden.

Nu zijn felicitatieberichten geen neusfluiten, maar oudere berichten verliezen in de loop de tijd ook waarde. En ik heb het idee dat die vorm van inflatie sneller gaat bij digitale berichten dan bij kaarten. Het voelt ongemakkelijk om weken later te reageren op een appje, terwijl het prima is om voor een verjaardagskaart pas te bedanken als je de verzender weer eens spreekt of schrijft.

Zelf reageer ik dus snel en kort op al die digitale gelukswensen. En mijn tante krijgt bij haar komende verjaardag een handgeschreven kaart met een heel mooi plaatje.

Deze column verscheen op 6 oktober 2023 in de Volkskrant.

Nieuwe adviesvragen zijn van harte welkom. Liefst persoonlijke vragen die op het eerste gezicht he-le-maal niets met wiskunde te maken hebben. U kunt ze insturen via ionica@volkskrant.nl.

Lees hier ook de andere columns van de reeks.

Ruzie over de klusjes in huis? Zo kun je de taken eerlijker verdelen

Beste Ionica,

Mijn dochter denkt dat ze veel vaker gevraagd wordt voor allerlei kleine taakjes in huis dan haar twee jaar oudere broer. Hoe kan ik eenvoudig de taakjes eerlijk verdelen, zonder scheidsrechter te zijn en zonder planbord?

Groeten, Lonice van de Pasch-Dik

Beste Lonice,

Ruim twintig jaar geleden had mijn studentenhuis het beste schoonmaaksysteem ooit. We waren begonnen met samen bedenken welke taken er waren, hoe vaak die gedaan moesten worden en hoeveel moeite die kostten. Dit alles vertaalden we in een puntensysteem. De vaatwasser moest elke dag worden geleegd en dat was een klusje van niets: één punt. De wc schoonmaken moest elke week en dat was wat meer werk (en bovendien goor): drie punten.

Alle behaalde punten werden bijgehouden in het digitale systeem Klens, dat twee huisgenoten speciaal hiervoor programmeerden (en waarvoor ze zichzelf gelijk flink wat punten hadden toegekend). Het systeem hield bij wanneer taken gedaan moesten worden en liet de tussenstand van ieders punten zien. Als een taak aan de beurt was, dan was degene die onderaan stond de klos om in actie te komen.

Het elegante van dit systeem was dat je taken waaraan je een hekel had kon vermijden. We hadden één huisgenoot die nooit schoonmaakte, maar consistent alle kleine taakjes deed, zoals de vaatwasser legen, vuilnis buitenzetten of glas en oud papier wegbrengen. Zelf maakte ik elke week de wc schoon, want ik vond het fijn als die een beetje fris bleef en bovendien voorkwam ik daarmee dat ik moest stofzuigen.

Weer een andere huisgenoot deed bijna nooit iets, maar af en toe schrobde hij urenlang de keuken tot die blonk van plafond tot vloer en zette hij ten slotte netjes de kruiden op alfabet. Dat leverde hem genoeg punten op om daarna weken op de bank te hangen.

Het is jammer dat dit prachtige systeem niet een op een te vertalen is naar uw gezin. Het eerste probleem is dat u waarschijnlijk iets strengere normen heeft dan een studentenhuis. Een klusje als ‘badkamer schoonmaken’ kon heel wat weken ongedaan blijven, voordat we boos op de deur van onze meest luie huisgenoot gingen bonzen of tot iemand anders het dan toch maar deed. Het tweede probleem is dat dit systeem alleen goed werkt als iedereen in huis meedoet aan de punten – en ik vermoed dat het voor uw kinderen niet echt gunstig zou zijn als u al uw klusjes ook erbij zou zetten.

Maar misschien kunt u wel het basiswerk doen met uw kinderen: dat u een keer met elkaar gaat zitten en bespreekt welke klusjes broer en zus samen moeten verdelen. En dat ze dan per klusje mogen aangeven hoeveel tijd ze denken dat het kost en hoe vervelend ze het zouden vinden om te doen. Dan kunt u daaruit berekenen wat de eerlijkste verdeling is van klusjes, zowel qua tijd als qua moeite. Al vrees ik dat er daarna toch iets van een scheidsrechter nodig zal zijn om te zorgen dat die klusjes ook werkelijk gedaan worden.

Deze column verscheen op 29 september 2023 in de Volkskrant.

Nieuwe adviesvragen zijn van harte welkom. Liefst persoonlijke vragen die op het eerste gezicht he-le-maal niets met wiskunde te maken hebben. U kunt ze insturen via ionica@volkskrant.nl.

Lees hier ook de andere columns van de reeks.

Als u in uw nieuwe woonplaats met allemaal mensen bent die u niet kent, dan biedt de combinatoriek troost

Lieve Ionica,

35 jaar van mijn leven woon en werk ik in een dorp. Nu ga ik stoppen met werken en verhuis ik naar een heel ander deel van het land. Er is niets dat mij bindt aan deze nieuwe plek. Hoe ga ik mij op mijn nieuwe plek weer thuis voelen?

Ineke

Beste Ineke,

Ruim zeventien jaar geleden verhuisde ik van Delft naar Leiden. Een verplaatsing van nog geen 30 kilometer, maar wat voelde ik me de eerste maanden ontheemd. Als ik langs volle terrassen fietste, zat daar geen enkele bekende. In de boekhandel zei niemand dat een nieuwe roman ‘echt iets voor mij’ was. Als ik door de wijk liep, kwam ik nul vertrouwde gezichten tegen.

Het lijkt me belangrijk dat u in uw nieuwe woonplaats snel fijne mensen leert kennen. Als u daar straks op een bijeenkomst bent met allemaal mensen die u niet kent, dan biedt de combinatoriek een troostrijk resultaat: in een groep van zes mensen zijn er altijd drie mensen die elkaar onderling kennen óf drie mensen die elkaar onderling niet kennen.

Het bewijs van deze bewering is een van mijn lievelingsbewijzen. Je tekent de zes mensen als stippen op papier en tekent rode lijnen tussen mensen die elkaar kennen en blauwe lijnen tussen mensen die elkaar niet kennen.

Als we bij één iemand beginnen, laten we die Jo noemen, dan zijn er vijf lijnen om te trekken tussen Jo en de anderen. Omdat we maar twee kleuren hebben, hebben daarvan minstens drie lijnen dezelfde kleur. Laten we even zonder verlies van algemeenheid aannemen dat dat rood is (want we kunnen in wat hierna volgt als het nodig is probleemloos rood en blauw omwisselen.)

Als u thuis even meetekent, dan zie u vanaf Jo drie rode lijnen lopen naar drie punten, oftewel mensen. Tussen die drie mensen onderling kun je ook weer drie lijnen trekken voor hoe zij elkaar kennen. Als ook maar een van die lijnen rood is, dan krijg je een rode driehoek en dat betekent dat er drie mensen zijn die elkaar onderling kennen. In dat geval zijn we klaar met het bewijs.

Laten we daarom uitgaan van het worstcasescenario: geen van die drie lijnen is rood. Maar dan zijn ze alle drie blauw en krijg je een blauwe driehoek: drie mensen die elkaar onderling niet kennen. Tada: klaar is het bewijs.

Als u straks in een groepje van zes staat, dan is optie één dat er drie mensen zijn die elkaar onderling kennen. Misschien zitten ze wel bij een leesclub, koor, tuindersvereniging of iets anders waarbij u kunt aansluiten. In het tweede geval heeft u twee lotgenoten die elkaar ook niet kennen en kunt u misschien eens iets met zijn drieën gaan doen.

Dit is een voorbeeld van Ramsey-theorie, genoemd naar de jong overleden wiskundige Frank Ramsey. Een vakgebied waarin nog veel open vragen zijn en dat verrassend veel toepassingen heeft. Misschien is dit gelijk een bonustip. Toen ik net in Leiden woonde, las ik op eenzame momenten heel veel over dit soort wiskunde. En ook daarin bleek ik een soort thuis voor mezelf op te kunnen bouwen.

Deze column verscheen op 15 september 2023 in de Volkskrant.

Nieuwe adviesvragen zijn van harte welkom. Liefst persoonlijke vragen die op het eerste gezicht he-le-maal niets met wiskunde te maken hebben. U kunt ze insturen via ionica@volkskrant.nl.

Lees hier ook de andere columns van de reeks.

Geen kaas meer? Wat de wiskunde kan betekenen voor uw veganistische idealen

Beste Ionica,

Eigenlijk vind ik dat iedereen veganist zou moeten worden vanwege de slechte invloed van vlees en zuivel op het milieu. Toch houd ik me hier zelf niet aan: ik eet nog steeds zuivel. De aantrekkingskracht van een plakje kaas op mijn boterham wint het van de niet-waarneembare impact die ik daarmee op het milieu heb. Hoe kan ik mezelf overtuigen om me aan mijn eigen principes te houden?

Tessa Matser

Beste Tessa Matser,

Wiskunde lijkt bij uitstek het vak waarin dingen goed óf fout zijn. In de formele logica is een bewering waar óf het omgekeerde van die bewering is waar. ‘9 is een priemgetal’ is niet waar, dus dan moet het omgekeerde van de bewering waar zijn: ‘9 is geen priemgetal’. Dit principe heet de wet van de uitgesloten derde, omdat er geen derde mogelijkheid bestaat.

Maar de intuïtionistische formele logica betwist deze wet. De Nederlandse wiskundige L.E.J. Brouwer was zo’n honderd jaar geleden een van de grondleggers van deze alternatieve logica, waarbij iets pas waar is als je het ook hebt bewezen.

In alle eerlijkheid begrijp ik net zo weinig van de intuïtionistische formele logica als van de bio-industrie. Wat ik probeer te zeggen: misschien bestaat er voor u een derde mogelijkheid naast ‘veganistisch eten is goed’ en ‘ik verloochen mijn principes als ik een plak kaas eet’.

Bent u bereid om uw principes iets bij te stellen? Wiskunde zou u op verschillende manieren kunnen helpen om een compromis te vinden tussen uw veganistische idealen en uw liefde voor zuivel. Stel dat u het acceptabel zou vinden om af en toe zuivel te eten, dan kunt u elke ochtend een dobbelsteen gooien en alleen als u 6 gooit, mag u die dag zuivel gebruiken. Dan zult u 83,3 procent van de dagen veganistisch eten. Dit is alleen wat onhandig met inkopen doen, want u wilt natuurlijk geen zuivel hoeven weggooien omdat die over de datum gaat als u iets te lang geen 6 gooit.

U kunt ook een bovengrens stellen aan hoeveel zuivel u per jaar mag eten van u zelf. Ik ken iemand die maximaal 1 kilogram vlees per jaar eet. Hij eet in principe vegetarisch, maar als hij in een goed restaurant lokaal wild op de kaart ziet, dan bestelt hij dat soms. Maar nooit meer dan een kilo per jaar.

Als u nu denkt: ‘Ionica, dit was niet mijn vraag, ik wil echt naar 100 procent veganistisch, houd op met die ruggegraatloze suggesties’, dan heb ik nog één wiskundige techniek achter de hand. Het is een oude, heel simpele truc die ook in allerlei verslavende spelletjes gebruikt wordt: tellen. Je telt hoeveel dagen het je lukt om geen zuivel te eten – en dan maar proberen een zo lang mogelijke aaneengesloten reeks (oftewel een streak) te halen. Ik heb twee mannen in mijn omgeving die dit doen voor respectievelijk alcohol en chocolade. De één zit inmiddels op 2.123 dagen, de ander op 18. Maar dat kunnen er uiteindelijk ook 2.123 worden.

Deze column verscheen op 8 september 2023 in de Volkskrant.

Nieuwe adviesvragen zijn van harte welkom. Liefst persoonlijke vragen die op het eerste gezicht he-le-maal niets met wiskunde te maken hebben. U kunt ze insturen via ionica@volkskrant.nl.

Lees hier ook de andere columns van de reeks.

Bieden op een huis: hoe plaats ik het hoogste bod, zonder veel te veel te betalen?

Lieve Ionica,

Hoe bepaal je een bod op een huis? Voor populaire koophuizen geldt vaak een inschrijfprocedure: het hoogste bod wint. Ik wil niet meedoen aan de gekte op de woningmarkt en bizar hoog bieden. Maar als ik te zuinig ben met mijn bod, gaat een huis aan mijn neus voorbij. Hoe kies ik de hoogte van mijn bod zodanig dat ik de hoogste bieder ben, maar er geen al te groot gat zit tussen mijn bod en het bod direct eronder?

Jeannette Huyser

Beste Jeannette Huyser,

Het korte en teleurstellende antwoord is: niet. Dat ligt niet aan u, maar aan de opzet van de inschrijfprocedure. Dat is in de Engelse vaktermen een first-price sealed-bid auction, oftewel een hoogste-prijs gesloten-bod veiling. Een gesloten bod betekent dat bieders niet van elkaar weten wat de anderen bieden. Dat kan ook anders: in Zweden verloopt het bieden op huizen openbaar. Op een website staat een openingsbod en daarna kunnen potentiële kopers via sms tegen elkaar opbieden tot de verkoper een bod accepteert.

Terug naar de Nederlandse procedure. De winnaar betaalt de hoogst geboden prijs. Dat klinkt vanzelfsprekend, maar dit heeft dus precies het nadeel dat u vreest. Als u 20 duizend euro meer biedt dan het op een na hoogste bod, dan betaalt u veel meer geld dan nodig was voor uw huis. In de speltheorie, het gedeelte van de wiskunde dat gaat over strategische beslissingen die rationele mensen nemen in dit soort situaties, noemen we dit de vloek van de winnaar. Wie wint, heeft eigenlijk te hoog geboden.

Het lijkt daarom een aantrekkelijke strategie om minder te bieden dan wat u het huis waard vindt. Maar er is geen optimaal bedrag te berekenen dat ervoor zorgt dat u zich na afloop niet opvreet van spijt als u het huis níét krijgt.

De speltheorie biedt een elegante oplossing voor dit probleem door de procedure aan te passen: de winnaar moet het bod van de op een na hoogste bieder betalen. Dan hoeft niemand bij het bieden bang te zijn dat er een groot gat zit tussen hun bod en dat van de op een na hoogste bieder. Voor deze veiling bestaat er wél een optimale strategie: u moet bieden wat u het huis werkelijk waard vindt. Hoe u dit bedrag bepaalt, zegt de theorie er dan weer niet bij. U kunt grondprijs, stenen, dat gezellige straatje, praktische ligging en het mooie uitzicht niet zomaar bij elkaar optellen tot één bedrag.

Wat de speltheorie wel zegt, is dat de verwachte opbrengst voor de verkoper bij dit systeem precies hetzelfde is als in de bij ons gebruikelijke procedure. Het is de vraag hoe goed dit alles zich vertaalt naar de praktijk. Alleen in wiskundige theorieën zijn mensen volkomen rationeel. Rationele mensen zouden nooit meer bieden voor een huis dan dat ze het waard vinden, want dan zouden ze verlies maken. Maar met de gekte op de woningmarkt word je al snel iets minder rationeel. En dan bied je dus meer dan eigenlijk slim is. En op de een of andere manier vermoed ik dat degenen die de procedures bepalen er geen enkel belang bij hebben om daar iets tegen te doen.

Deze column verscheen op 1 september 2023 in de Volkskrant.

Nieuwe adviesvragen zijn van harte welkom. Liefst persoonlijke vragen die op het eerste gezicht he-le-maal niets met wiskunde te maken hebben. U kunt ze insturen via ionica@volkskrant.nl.

Lees hier ook de andere columns van de reeks.