Tag: eerlijk

Hoe kan ik lekker eten écht eerlijk verdelen?

Beste Ionica,
Mijn vriendin moest als kind vaak iets lekkers delen met haar oudere broer. Dan zei hij altijd: ‘Deel jij het maar in tweeën, dan kan ik als eerste kiezen.’ Valt er in de wiskunde nog iets te redeneren tegen het gevoel dat ze als klein zusje altijd de kleinste portie kreeg?
Nel van Wageningen

Beste Nel van Wageningen,

Het principe kiezen of delen is al eeuwenoud. In het Oude Testament willen Abram en Lot hun land in twee delen splitsen om apart van elkaar te gaan wonen. Abram verdeelt het ganse land in twee delen en dan mag Lot kiezen in welk van de twee stukken hij wil wonen.

Wiskundigen formuleren dit soort verdelingsproblemen meestal in de vorm van het eerlijk snijden van een taart. Belangrijk is dat de taart heterogeen kan zijn, met bijvoorbeeld allerlei verschillende soorten decoraties erop. Ook belangrijk is dat ieder van de mensen die de taart gaan delen, verschillende voorkeuren kan hebben. De een houdt van veel slagroom, de ander wil heel graag dat marsepeinen bloempje en een derde wil gewoon een zo groot mogelijk stuk. Bij eerlijk delen is het niet nodig dat iedereen precies evenveel krijgt: de clou is dat iedereen het gevoel heeft dat hun stuk een eerlijk deel is. (Onthoud bij de rest van deze column dat het niet belangrijk is dat het om een taart gaat, het kan bijvoorbeeld ook gaan over het eerlijk verdelen van een erfenis of van huishoudelijke taken.)

Als twee personen een taart mogen verdelen, dan is de gebruikelijke oplossing dat de eerste persoon hem in twee delen snijdt die deze persoon even graag zou hebben. De andere persoon mag daarna kiezen welk van twee delen die wil. Nu kan, in theorie, geen van de twee personen jaloers zijn op de ander. De tweede persoon mocht een stuk kiezen en de eerste persoon vond allebei de stukken precies even goed.

Wiskundigen hebben in de loop der jaren allemaal uitbreidingen bedacht voor hoe je dit eerlijk delen doet met drie, vier of nog veel meer personen. Op een heerlijke dag zag ik een Duitse wiskundige het algoritme voor drie personen demonstreren met een taart die hij speciaal voor de gelegenheid had versierd met onregelmatige dotten slagroom, hier en daar wat M&M’s en ook nog een paar aardbeien. De vrijwilligers uit de zaal werden tot wanhoop gedreven door de vele stappen die nodig bleken – en door de onmogelijkheid om de taart precies zo te snijden als ze in hun hoofd hadden. Het werd een chaos met overal slagroom en kruimels. Zo gaat het vaker met wiskunde: in theorie werkt het allemaal prachtig, maar in de praktijk wordt het een kliederboel.

Uw vriendin was inderdaad in het nadeel omdat zij altijd maar moest delen, want het lukte vast niet altijd om de (spreekwoordelijke) taart precies zo te snijden als zij het het liefste zou willen. Achteraf had uw vriendin kunnen nadenken over andere voorkeuren dan alleen maar groot of klein. Als ze van chocolade hield, was een kleiner stukje taart mét een chocoladeblaadje voor haar net zoveel waard als een groter stuk zonder chocolade. Van dit soort tactieken kun je plezier hebben met een broer die altijd het grootste stuk pakt (en dit geldt dus niet alleen bij taart en ook niet alleen bij broers).

Deze column verscheen op 22 maart 2024 in de Volkskrant.

Nieuwe adviesvragen zijn van harte welkom. Liefst persoonlijke vragen die op het eerste gezicht he-le-maal niets met wiskunde te maken hebben. U kunt ze insturen via ionica@volkskrant.nl.

Lees hier ook de andere columns van de reeks.

Wat lijkt u de eerlijkste manier om de rekening te verdelen tussen de jarigen en de niet-jarigen?

Lezeres Pauline Schröder mailde me een heerlijk rekenprobleem. Het team waarin zij werkt bestaat uit vier collega’s (inclusief zijzelf). Bij een verjaardag gaan ze samen ergens eten, waarbij de jarige kosteloos mee mag. Vorige week was er weer zo’n etentje, alleen werden er deze keer twee verjaardagen tegelijk gevierd. Bij het afrekenen ontstond er enige verwarring, want de teamleden bleken op twee verschillende manieren uit te rekenen wat iedereen moest betalen. Het totale bedrag was 84 euro. Wat lijkt u de eerlijkste manier om de rekening te verdelen tussen de jarigen en de niet-jarigen?

Schröder dacht dat het een simpele som was: ‘De jarigen betalen elk zeven euro (één derde deel van de lunch van de jarige collega, want de eigen lunch is het cadeautje) en de niet-jarigen betalen elk 35 euro (hun eigen lunch + twee maal één derde verjaardagscadeau).’

Tot haar verbazing kwam een collega op iets anders uit: 14 euro voor de jarigen en 28 euro voor de niet-jarigen. Dit komt neer op het etentje splitsen in twee denkbeeldige losse etentjes van 42 euro voor elk van de twee jarigen. Per etentje deel je de kosten door drie: 14 euro per persoon. De niet-jarigen betalen mee aan twee van die etentjes en komen zo op 28 euro, de jarigen betalen alleen mee aan het etentje voor de andere jarige en betalen dus 14 euro.

Zelf zou ik het net als Schröder hebben uitgerekend, maar die tweede berekening klinkt ook logisch. Hoe kon het dat er twee verschillende antwoorden mogelijk leken? Ik besloot aan anderen te vragen hoe zij dit zouden doen. Een kleine niet-representatieve steekproef op Mastodon en onder mensen die ik de afgelopen week tegenkwam laat een zelfde verdeeldheid zien als in het team van Schröder. Of eigenlijk is het nog erger: 40% kwam op 14 euro voor de jarigen, 30% op 7 euro voor de jarigen en nog eens 30% kwam op nog iets anders, waarbij ik werkelijk de meest ingenieuze berekeningen voorbij zag komen.

Maar wat is nu het goede antwoord? Taaljournalist Gaston Dorren en wetenschapsfilosoof Sylvia Wenmackers overtuigden me ervan dat het ‘eerlijkste’ antwoord de 35/7 verdeling is die Schröder bedacht. Kijk daarvoor naar het totaal van een jaar, aannemend dat er steeds etentjes van 84 euro worden gehouden. Bij de verjaardag van het eerste teamlid A betalen B, C en D elk 28 euro. Bij de verjaardag van B idem, maar nu betalen A, C en D ieder dat bedrag. Daarna vieren C en D samen hun verjaardagen en betalen A en B elk 35 euro en C en D 7 euro. Als je het optelt, dan heeft iedereen aan het eind van het jaar 63 euro betaald: eerlijker kan niet.

Of nuja, eerlijker kan niet, áls je wilt dat iedereen precies hetzelfde betaalt. Iemand mopperde dat dit wel een héél Hollands en knieperig rekenprobleem was: konden die niet-jarigen niet gewoon trakteren? Daarom een tip die mijn familieleden graag toepassen: degene die het geld kan missen, sluipt tijdens de koffie weg – zogenaamd om naar de wc te gaan, maar betaalt dan stiekem voor iedereen. Niet eerlijk, maar wel heel sfeerverhogend.

Deze column verscheen op 25 november 2022 in de Volkskrant.

Over fatsoenlijke tarieven (column)

Van onderstaande column uit 2013 is een nieuwe, geactualiseerde versie verschenen als Kakkerlakje – een klein boekje om te sturen naar alle opdrachtgevers die denken dat je voor een boekenbon/fles wijn komt en naar alle zzp’ers die je een hart onder de riem wilt steken. Te koop in de boekhandel of via https://loopvis.nl/jebenthetwaard/.

Beste congres-organisatie,

Wat leuk dat jullie me vragen voor een lezing, natuurlijk kan ik een verhaal vertellen over onverwachte toepassingen van wiskunde! Het is alleen jammer dat jullie geen budget hebben voor sprekers. Jullie boeken voor je congres een prachtig landgoed, huren een dure cateraar, maar de inhoud moet bijna gratis komen. Dat is toch merkwaardig. Ik kan als zelfstandige geen lezing komen geven voor 150 euro. Ik zal nog één keer uitleggen wat een fatsoenlijk tarief is.

Zie mij eens lekker staan op dat podium.
Zie mij eens lekker staan op dat podium.

Laten we eens kijken naar wat iemand in loondienst kost. Neem mijn oude studievriend Bert, hij verdient 3.600 euro bruto per maand. Dat is bovenmodaal, maar voor onze werkervaring en opleidingsniveau onder het gemiddelde. Voor zijn werkgever komen er bovenop dat brutoloon nog werknemersverzekeringen, sociale premies en vakantiegeld. Bij elkaar zijn de werkgeverskosten ongeveer 59.000 euro per jaar. En dan heb ik de bonus van Bert nog niet eens meegeteld.

Bert heeft ook een mooie werkplek, een telefoon, laptop plus een hele lading kantoorspullen van de zaak en hij mag diverse onkosten declareren. Moet hij naar een vergadering in Sneek? Zijn baas betaalt de reiskosten, eten onderweg en als het nodig is een hotel. Zeg dat al dit soort kosten nog eens zesduizend euro per jaar zijn. Dan komen we voor een werkgever op 65.000 euro aan kosten.

Hoeveel kost Bert daarmee per uur? Hij werkt full-time, maar lang niet al zijn uren zijn declarabel. Hij maakt regelmatig eens praatje bij de koffie-automaat of zit even voor zich uit te staren. Verder zijn er vergaderingen, cursussen, het beantwoorden van talloze emails, het oplossen van computerproblemen en al die andere dingen die naast zijn eigenlijk werk moeten gebeuren. Daarnaast gebruikt Bert zijn volle zesentwintig vakantiedagen en ligt hij wel eens met griep in bed. Zeg dat hij uiteindelijk duizend uur declarabel werk per jaar overhoudt. Dan kost Bert zijn werkgever uiteindelijk per uur 65 euro. Uit betrouwbare bron weet ik dat Bert het dubbele kost als hij eens aan een ander bedrijf wordt verhuurd.

Het lijkt me dus zeer redelijk dat ik als zelfstandige 65 euro per gewerkt uur reken. Op het eerste gezicht houd ik meer geld over dan Bert, maar ik heb veel meer onzekerheid en kosten dan hij (en leuker werk, dat dan weer wel). Mijn arbeidsongeschiktheidsverzekering is duurder dan die van een werknemer en pensioen moet ik op een of andere manier zelf opbouwen. Verder gaan opdrachtgevers wel eens failliet of krijg ik een tijdje domweg geen opdrachten terwijl Berts loon elke maand binnenkomt. Kortom: 65 euro per uur is echt het minimum.

Probeer nu eens te schatten hoeveel tijd een lezing op jullie conferentie me kost. Ik moet de vorm en inhoud met jullie overleggen, de juiste voorbeelden opduiken, een presentatie maken en oefenen. Op de dag zelf kom ik naar jullie afgelegen landgoed (in totaal vijf uur reizen), ben ik een uur van tevoren aanwezig om de techniek te testen en blijf ik op verzoek van jullie nog tot na de pauze zodat ik vragen kan beantwoorden. Na afloop stuur ik jullie netjes mijn presentatie en aanvullende informatie voor de deelnemers. Alles bij elkaar kost dit me makkelijk twee complete dagen. Reken zelf maar even uit voor welk bedrag jullie me kunnen boeken.

Hopelijk tot ziens,

Ionica

ps Zoals ik al schreef is 65 euro per uur het absolute minimum. Niet schrikken als ik af en toe wat meer vraag dus.

Deze column verscheen afgelopen weekend in de Volkskrant Met dank aan mijn onvolprezen boekhouder Marina Clausing die meedacht over de juiste vergelijking..