Categorie: Volkskrant

90

Vandaag is de begrafenis van Christel Smeets-Sonnenschein: mijn laatste oma. Ze was negentig en lag de laatste maanden in het ziekenhuis. Toen complicatie op complicatie volgde, werd duidelijk dat haar lichaam op was. Het afscheid van mijn oma kwam niet onverwacht en we beseffen dat weinig mensen het geluk hebben om hun negentigste verjaardag te vieren. En toch is er zoveel verdriet in mijn familie.

Ergens denk ik: wat hadden we dan gehoopt? Dat ze zelfs de honderd zou halen? Is dat dan wél oud genoeg om te mogen sterven? Een vriend vertelde dat toen zijn oma op 102-jarige leeftijd overleed, zijn tante in de rouwadvertentie wilde zetten: ‘Veel te vroeg is van ons weggerukt…’ Daar moest ik destijds een beetje om grinniken, maar ergens kan ik het me ook wel voorstellen. Als het je eigen lieve moeder is, dan kan zelfs 102 nog als te jong voelen.

Je merkt ook hoe je ideeën over wat ‘oud’ is langzaam veranderen als je zelf ouder wordt. Ik vroeg deze week aan mijn zesjarige zoon wat hij oud vindt. Na wat zoeken kwamen we eruit dat hij negenvijftig nog jong vindt en alles daarboven is oud. Ai.

Toen herinnerde ik me hoe ik me als puber voelde toen mijn opa Smeets overleed op zeventigjarige leeftijd. Ik was verdrietig dat zo’n lieve opa doodging, maar vond ook dat zeventig héél oud was. Inmiddels ben ik zelf twintig jaar ouder en ben ik verontwaardigd als mensen van zeventig overlijden, omdat die nog zo jong zijn.

Misschien mompelen sommige lezers nu hoofdschuddend dat ik nog steeds een jonkie ben dat niets snapt van de dood. Ik zou bijna een formule op gaan stellen voor de relatie tussen je eigen leeftijd en je beeld van wat oud is. Maar ik weet heel zeker dat er mensen zijn die dan hoofdschuddend zullen mompelen dat ik niets van het leven snap.

Los van de vraag wat oud is, lijkt er een soort rangorde te zitten in toegestaan verdriet als iemand van een bepaalde leeftijd overlijdt. Een oma van zestig die sterft, is triester dan een overgrootmoeder van negentig die overlijdt. Nog verdrietiger is het als een jonge moeder van dertig wordt weggenomen. En een kind dat sterft is onverdraaglijk. Juist wat de overledenen moeten missen, geeft zoveel verdriet. Al die jaren toekomst waarin ze nog hadden kunnen leven, al die dingen die ze nooit meer zullen meemaken. Als iemand van negentig overlijdt, zijn er naast het verdriet ook de troostrijke herinneringen aan alles wat diegene was en heeft beleefd.

Mijn oma die nu in haar kist ligt is niet alleen die uitgeputte dame van negentig. Ze is ook het meisje dat voor het eerst met haar zussen naar de kermis mag. Ze is de bakvis die verliefd wordt op mijn opa. Ze is die trotse jonge moeder die de kinderwagen met daarin mijn vader duwt. Ze is de vrouw die schaterend haar vriendinnen verslaat met het kaartspel duizenden. Zij is de lieve oma die een Mickey Mouse trui voor me breit. Ze is de weduwe die na het overlijden van haar man de hele familie meeneemt op vakantie naar een zonnig land. Zij is al die vrouwen en we huilen vandaag om alles dat ze was en om alles dat voorbij gaat.

Deze column verscheen op 28 januari 2017 in de Volkskrant

1581

In de aanloop naar de verkiezingen lijkt er elke vijf minuten een nieuw factcheck-initiatief te starten (1). Een paar voorbeelden: de StellingChecker wil de betrokkenheid van burgers bij media en politiek vergroten, Leidse studenten journalistiek controleren feiten op Nieuwscheckers, en Stemmingmakerij laat grafieken zien met de feiten achter veelgehoorde sentimenten.

Ook de kranten doen lekker mee aan de factcheck-hausse. Trouw keek laatst naar het idee van Zondag met Lubach om Nederland op plaats twee te krijgen na Trump’s America first als het om handel gaat. De conclusie van Trouw: ‘Ons land is dus te klein om zich als nummer 2 bij Donald Trump te kwalificeren.’ No shit, Sherlock.

Tijdens het RTL-debat van vorige week zaten redacteuren van NRC en Volkskrant als een malle uitspraken van de lijsttrekkers te controleren. Zo zei Jesse Klaver dat Willem van Oranje in 1581 schreef: ‘dit land zou nog geen drie dagen voortbestaan zonder godsdienstvrijheid’. Onwaar, oordeelde NRC, want het citaat dat Klaver bedoelde kwam uit 1580, was geschreven in opdracht van Willem van Oranje (in plaats van door hemzelf) en ging alleen over godsdienstvrijheid voor Calvinisten.

Soms word ik wat moedeloos van al die factcheckers. Zou iemand door de genoemde check nu anders naar Jesse Klaver kijken? Feitelijke correctheid lijkt er sowieso niet zo toe te doen, aangezien er nu een president in het Witte Huis zit waarvan volgens lokale factcheckers 70% van zijn beweringen ‘grotendeels fout’, ‘fout’, of ‘een regelrechte leugen’ is. Dat vind ik erg en ik juich het toe dat burgers gewezen worden op onwaarheden die politici verkondigen.

Alleen is het lastig dat veel zogenaamd harde feiten helemaal niet zo hard zijn. Er zijn definities gekozen, aannames gedaan en dingen weggelaten. Over al die keuzes valt te twisten. Hoe ga je daarmee om? Ga je als factchecker mee met de spreker e`n kijk je of de bewering klopt binnen de gekozen aannames? Of ga je ook kijken naar geldigheid van de gemaakte keuzes? Maar hoe doe je dat laatste zonder dat elke feitencheck uitmondt in een maandenlange studie?

Soms is het belangrijker om te discussiëren over iets anders dan de feiten. Toen president Donald Trump in een interview zei dat het martelen van terroristen ‘absoluut werkt’, berichtte deze krant dat wetenschappelijke studies laten zien dat martelen juist kan leiden tot meer onbetrouwbare informatie. Maar is dat niet de verkeerde discussie? Zou je niet tegen martelen moeten pleiten, ongeacht of het werkt?

Het is bijna alsof iemand roept: ‘De beste manier om alle peuters van Nederland te vermoorden, is om plutonium door Liga’s te mengen.’ En dat vervolgens factcheckers keurig gaan kijken of dit wel klopt door de feiten op een rijtje te zetten. Hoeveel peuters zijn er in Nederland en hoeveel daarvan eten er regelmatig Liga’s? Is er misschien een ander voedingsmiddel dat populairder is onder peuters? We willen de harde feiten! En is plutonium wel het meest geschikte manier om die kinderen te doden? Is er geen goedkoper en effectiever gif? Je kúnt het allemaal keurig checken. Maar zou je niet beter iets anders kunnen doen met dit soort uitspraken?

1. Lieve factcheckers: dit was een grapje. Als jullie dit gaan controleren, dan zul je ontdekken dat er niet écht elke vijf minuten een nieuw initiatief bijkomt.

Deze column verscheen op 4 maart 2017 in de Volkskrant

1 dode oma

De komende week is levensgevaarlijk voor de opa’s en oma’s van mijn studenten. Ik geef vrijdag namelijk een tentamen en familieleden van studenten blijken pal voor zo’n toetsmoment veel meer kans te hebben om te overlijden dan op elk ander moment van het jaar. Vooral voor oma’s is het risico enorm.

Universitair docent Mike Adams publiceerde in 1990 de resultaten van zijn jarenlange onderzoek onder Amerikaanse studenten. In weken zonder tentamen in zicht overlijden per honderd studenten gemiddeld 0,05 familieleden. De week voor een tentamen stijgt dat naar gemiddeld iets meer dan één familielid per honderd studenten. Een fikse toename die ook docenten in andere landen zien tijdens tentamenperiodes.

Vooral oma’s blijken bij bosjes te sneuvelen: de week voor een tentamen overlijden er 24 keer zoveel oma’s als opa’s. De meeste sterfgevallen vallen in families van studenten die er slecht voorstaan doordat ze bij eerdere opdrachten onvoldoendes haalden. Hoe lager de eerdere cijfers van de student, hoe hoger de kans dat er net voor het tentamen een familielid overlijdt.

Volgens Adams is de conclusie glashelder: Familieleden maken zich zóveel zorgen om de cijfers van hun verwanten, dat ze er letterlijk aan onderdoor gaan. Het is logisch dat dit juist bij de zwakkere studenten gebeurt en dit alles laat zien hoe betrokken vooral de oma’s zijn bij hun studerende kleinkinderen. Als voorbeeld van een extreem tragisch geval noemt Adams een student uit het honkbalteam die vier jaar lang elk semester minstens één oma verloor.

Wat kunnen we doen om de levens van al die oma’s te redden? Adams suggereert: geen tentamens meer geven, alleen studenten zonder familie toelaten of studenten laten verzwijgen voor hun familie dat ze op de universiteit zitten. Geen van deze oplossingen is erg bevredigend.

Gelukkig publiceerde sociaal-psycholoog Lee Jussim de resultaten van een experiment dat hij deed met zijn studenten: hij maakte het hertentamen hels moeilijk en zorgde dat de studenten hiervan op de hoogte waren. Vervolgens daalde het aantal overleden familieleden pal voor het gewone tentamen spectaculair en Jussim concludeert dat deze opzet 80% van de oma’s kan redden.

Dit is allemaal erg grappig, maar wat doe je als docent nu met de studenten die melden dat ze een tentamen niet kunnen maken door een sterfgeval in de familie? Voor hen moet je een extra herkansing organiseren en dus nieuwe tentamenvragen bedenken. Je wilt die moeite niet doen voor studenten die een dode oma verzinnen als uitvlucht. Bij mijn tentamen doen zo’n vierhonderd studenten mee, dus volgens de cijfers van Adams kan ik deze week zo’n vier overlijdensgevallen verwachten. Hoeveel daarvan zijn er dan echt? En hoe kom ik erachter welke dat zijn?

Het is nogal cru om een overlijdenskaart als bewijs te vragen aan een student die net een geliefd familielid verloor. De mooiste, menselijke oplossing komt van onderwijskundige Karen Eifler. Als een student bij haar meldt dat een naaste is overleden, dan stuurt Eifler een kaart naar de familie om hen te condoleren. Zo laat ze zien dat ze om haar studenten geeft en er is voor degenen die het zwaar hebben. Maar de studenten die een overleden familielid verzonnen als smoes om onder een tentamen uit te komen, hebben een groot probleem als hun familie ineens een condoleancekaart ontvangt. Sinds Eifler deze kaarten verstuurd, is de band met haar studenten verbeterd én durven studenten geen overleden oma meer te verzinnen als smoes.

Deze column verscheen op 18 maart 2017 in de Volkskrant

Bijna half twee

Deze week verscheen Alledaags rekenen van Marjolein Kool en Ed de Moor, twee van de vriendelijkste rekenmeesters van Nederland. Het was gek om hun boek te lezen, want sinds een paar maanden stuurt Marjolein Kool hartverscheurende emails met als onderwerp ‘Ed de Moor’. Ed kreeg eind vorig jaar een herseninfarct en Marjolein doet aan zijn vrienden verslag van zijn moeizame revalidatie. Ik ben één van die vrienden, vandaar dat ik Ed en Marjolein hier ook maar gewoon bij hun voornaam noem.

Ik ontmoette Ed in 2010 voor een interview over zijn lange loopbaan als wiskundeleraar en rekenexpert. Hij was vriendelijk en erudiet, grappig en bevlogen. Ed was destijds 77 en toen ik naar huis fietste dacht ik twee dingen: ik zou ervoor tekenen om op zijn manier ouder te worden en wat moest het geweldig zijn om iemand als Ed als vriend te hebben. Tot mijn vreugde raakten we bevriend, maar dat ouder worden blijkt nu toch behoorlijk tegen te vallen.

In het boek dat hij met Marjolein maakte is zichtbaar hoe breed zijn interesses uitwaaieren. Naast veel en degelijk rekenwerk komt er van alles voorbij. De klok van de Amsterdamse Obrechtkerk met een foutje op de wijzerplaat. Een stripje van Heinz met een vloekende en tierende zes op pootjes (Heinz: ‘Negatief getal.’) Of een kassabonnetje met een pen van €3,453. Ook de stem van Marjolein is duidelijk herkenbaar, bijvoorbeeld bij een ode aan Drs P waarmee zij eerder de gedichtenbundel Wis- en Natuurlyriek maakte. Of in een fijn gedicht over nul: ‘Nul is het aantal golven in een vijver met ijs.’ Nul is ook het aantal onderwerpen waaraan níet gerekend kan worden. Zelfs met André Rieu blijkt er iets te verzinnen: als je 41 door 333 deelt krijg je het Rieu-getal dat lijkt op een eindeloze wals.

Tot mijn verrassing stond er in het boek een foto van mijn oud-collega Jeanine Daems en mezelf. Ed maakte die foto vorige lente tijdens het kraamfeest voor mijn dochter en ik was vergeten dat hij had gevraagd of die foto in het boek mocht. Nog verbaasder was ik toen ik diezelfde avond de verzamelbundel I van Heinz las en daarin een foto aantrof van een piepjonge Ed de Moor. Tekenaars Windig en De Jong noemden hem als hun gewaardeerde wiskundeleraar. Het was alsof ik in een spiegelpaleis liep. En steeds dacht ik aan de twee auteurs van Alledaags rekenen samen in dat revalidatiehuis. Zij op bezoek, hij haperend zoekend naar de juiste woorden en getallen.

Marjolein beschrijft in haar verslagen hoe Ed soms heel scherp is en dan ineens weer iets zegt dat helemaal mis is. Bijvoorbeeld toen hij haar waarschuwde dat ze de bus van vier uur moest halen. Om vijf voor vier zei hij: ‘Je moet gaan, je hebt nog maar vijf…’ Het laatste woord kwam niet, dus Marjolein vulde aan: ‘Minuten’. Waarop Ed antwoordde: ‘Ja precies. Je moet gaan, het is bijna half twee.’ Waar kwam die half twee vandaan? Voorzichtig vroeg Marjolein of hij soms ‘vier uur’ bedoelde. Waarop Ed gepikeerd reageerde: ‘Nee ik weet wel wat vier uur is, maar ik zei toch bijna? Het is bijna half twee.’

De man die zoveel mensen leerde rekenen is de tel kwijt. Ik hoop zo dat hij hem terugvindt.

Helaas is Ed de Moor in december 2016 overleden.
Overlijdensbericht

Deze column verscheen op 16 januari 2016 in de Volkskrant

Om de 5 jaar gelukkig

Een collega puzzelt al weken op zijn planning voor de kerstdagen. Hij vroeg of ik een wiskundige oplossing had. Hoe plan je familiebezoeken en kerstdiners zodat iedereen tevreden is?

Het probleem is dat dit al snel over een heleboel mensen gaat. Neem een echtpaar dat graag een kerstdiner wil organiseren met hun drie volwassen kinderen. Die kinderen hebben elk een partner en die partners hebben ouders die ook een kerstdiner willen plannen. Nu gaat het al over zeven gezinsagenda’s. Daarbij komen dan weer broers en zussen kijken, die op hun beurt ook weer partners met ouders hebben, die weer andere kinderen hebben, enzovoorts. Voor je het weet ben je honderden agenda’s op elkaar aan het afstemmen.

Helaas bestaat er geen handig wiskundig schema waarmee iedereen altijd tevreden is. De kunst is om de ontevredenheid op de een of andere manier te minimaliseren. Een stel informatici boog zich over dit probleem in The Family Holiday Gathering Problem. Aan het begin van dit artikel merken de auteurs voorzichtig op dat zij met hun achtergrond niet geschikt zijn om de sociale en psychologische problemen rond familiebijeenkomsten op te lossen. Hoe ongeschikt ze daarvoor zijn, blijkt even later als ze vrolijk opmerken dat broers en zussen die met elkaar trouwen hun probleem alleen maar vereenvoudigen.

Enfin. Deze onderzoekers nemen aan dat ouders gelukkig zijn als ze met al hun kinderen tegelijk feest vieren. Het doel is om te zorgen dat het aantal achtereenvolgende feestdagen dat ouders ongelukkig zijn zo klein mogelijk is. Ze streven daarbij naar een vast schema, dat zich elke zoveel jaar herhaalt, zodat iedereen weet waar hij aan toe is.

Stel dat je zo’n schema maakt voor een groep ouders, waarbij de het grootste gezin vier kinderen heeft. Dan kun je altijd een oplossing vinden waarbij elk stel ouders om de vijf jaar gelukkig is. Maar is dat eerlijk voor ouders in deze groep die maar één kind hebben? Zou het niet beter zijn om de kans op een compleet gezin met kerst af te laten hangen van het aantal kinderen?

Uiteindelijk komen de auteurs tot een oplossing. Alleen snap ik na drie keer lezen nog steeds niet hoe ik die zou moeten uitvoeren in mijn familie. En zelfs al ik het zou snappen, dan zou ik de moed niet hebben om de moeder van mijn zwager te bellen om haar uit te leggen wat voor schema ik heb voor haar familie.

In het vrolijke zelfhulp boek The Life-Changing Magic of Not Giving a F*ck komt auteur Sarah Knight met een eenvoudige persoonlijke variant. Elk jaar moesten zij en haar man kiezen uit drie familiebijeenkomsten, tot ze een paar jaar terug besloten om het domweg te gaan rouleren. Elke bijeenkomst doen ze nu eens in de drie jaar en daar valt niet over te onderhandelen (de titel van haar boek geeft al aan hoe de auteur reageert als mensen hier boos om worden).

Ten slotte hebben logici nog een elegante oplossing voor als je gescheiden ouders hebt die niet met elkaar praten. Je zegt tegen elk van hen dat je dit jaar de complete kerst bij de ander viert. Vervolgens boek je een reis naar de Canarische eilanden en ligt op eerste kerstdag lekker in het zonnetje.

Deze column verscheen eerder in de Volkskrant

3x zo groot

Op weg naar mijn werk fiets ik langs een poster voor mega-M&M’s die ‘3x zo groot zijn’. De rest van de dag zit ik achter mijn bureau en denk aan chocolade. Dit schreeuwt om nader onderzoek. Wat zou er bedoeld worden met ‘3x zo groot’? Is de diameter drie keer zo groot? Of het totale ding?

Dat maakt namelijk nogal uit. Laten we even aannemen dat een M&M een kubus is. Een totaal onrealistische aanname, maar een beetje wiskundige laat zich daardoor niet uit het veld slaan. Bovendien maakt deze versimpeling het rekenwerk makkelijker, waardoor het onderliggende principe duidelijk wordt.

Als we beginnen met een kubus met ribben van één centimeter, dan is de inhoud van die kubus één kubieke centimeter. De oppervlakte is zes vierkante centimeter (want er zijn zes zijvlakken). Als we nu deze kubus ‘3x zo groot maken’ door elk van de ribben op te rekken naar drie centimeter, dan krijgen we een kubus met een volume van zeventwintig kubieke centimeter en een oppervlakte van vierenvijftig vierkante centimeter (zes maal negen).

Korte samenvatting voor wie de draad inmiddels helemaal kwijt is: als je een kubus vergroot door elke ribbe drie keer zo lang te maken, dan wordt het volume zeventwintig keer zo groot en de oppervlakte negen keer zo groot. Dus als je dingen vergroot, neemt het volume sneller toe dan de oppervlakte, zoals Galileo Galilei in 1638 al opmerkte.

Terug naar de chocolade. Ik haalde twee zakken M&M’s: de mega en gewone. De mega zijn overigens alleen verkrijgbaar zonder pinda, wat goed uitkomt, want ik houd niet van pinda’s. Ik legde meetlint, weegschaal en maatbekers klaar om ze eens grondig te analyseren. De diameter van de normale versie is pakweg dertien millimeter. De megaversie ziet eruit als een kleine ufo en heeft een diameter van ongeveer twintig millimeter. Dat is dus niet drie keer zo groot, maar ongeveer anderhalf.

Dan het gewicht: de normale wegen iets minder dan één gram. De mega zijn per stuk zo’n 3,2 gram. Dat is dus méér dan drie keer zo groot. Tenslotte moest ik het volume bepalen. Dat kan heel moeizaam door de hoogte te meten en een formule voor het volume van afgeplatte chocoladebollen te bepalen. Gelukkig had ik die maatbekers al klaargezet. Laagje water erin, chocolaatjes erbij en je kunt superhandig aflezen hoeveel het volume stijgt, zoals Archimedes zo’n 2.200 jaar geleden al opmerkte.

De mega’s hebben een volume van zo’n 2,5 milliliter (oftewel 2,5 kubieke centimeter). Bij de normale blijken er drie in 2,5 milliliter te gaan. De ‘3x zo groot’ van de reclame gaat blijkbaar over het volume.

Hoe kan het dan dat ze iets meer dan drie keer keer zo zwaar zijn? Waarschijnlijk komt daar dat verschijnsel van Galileo om de hoek. De mega’s hebben in verhouding minder oppervlakte en dat is waar het gekleurde suikerlaagje zit. Zou dat laagje misschien een lagere dichtheid hebben dan chocolade? Dit alles vraagt om nog meer onderzoek.

Een ander idee voor een vervolgstudie: normaal staat mega voor een factor miljoen (denk aan megawatt, dat is een miljoen watt). Dus ik hoop dat er binnenkort echte mega-M&M’s van duizend kilo komen. Ik offer me wel om op eraan te rekenen.

Deze column verscheen eerder in de Volkskrant

74% van de ruimte

Twee weken terug schreef ik hier over M&M’s. Sommige lezers mopperden dat de onderwerpen in deze rubriek wel erg frivool waren en dat zij liever iets lazen over moeilijke wiskundige problemen. Speciaal voor hen deze week een technisch stukje over een klassiek vraagstuk (mét een heuse voetnoot). En goed nieuws voor de rest: het gaat aan het einde ook weer over M&M’s.

Het klassieke vraagstuk gaat over bolstapelingen. In 1587 staarde ontdekkingsreiziger Walter Raleigh naar een piramidevormige stapel kanonskogels (je moet toch iets als je wekenlang op een schip naar Amerika zit). Raleigh vroeg zich af hoe je snel kon berekenen hoeveel kogels er in de totale stapel lagen. Zijn wiskundige assistent Thomas Harriot gaf hem de formule daarvoor. [1]

Zoals het zo vaak gaat met wiskundigen, begon Harriot zich heel andere dingen af te vragen over de stapel kanonskogels. Hoe groot waren de gaten tussen de kogels? En kon je de bollen misschien efficiënter opstapelen? Harriot speelde zijn ideeën door naar de Duitse wiskundige Johannes Kepler die in 1611 het vermoeden formuleerde dat het niet beter kon dan de gebruikelijke manier van stapelen. Elke andere schikking van even grote bollen zou gemiddeld meer ruimte ongebruikt laten.

Deze gebruikelijke stapeling heeft een ingewikkelde naam, maar je ziet hem regelmatig bij de sinaasappels op de markt. De sinaasappels liggen in een zeshoekige regelmaat en de volgende laag komt steeds in de kuiltjes van die eronder. Deze manier van stapelen vult iets meer dan 74% van de ruimte en Kepler dacht dus dat het niet efficiënter kon. Als je bollen bijvoorbeeld willekeurig in een vat gooit en een beetje schudt, gebruiken ze slechts pakweg 64% van de ruimte.

Nu volgt een flinke sprong in de tijd: in 1998 kwam er eindelijk iemand met een bewijs voor het vermoeden van Kepler. En wat voor bewijs. Thomas Hales gebruikte een computerprogramma dat losse gevallen controleert en zijn bewijs was zo gigantisch dat het controleren onmogelijk bleek. Na vier jaar zwoegen, concludeerde een team van wiskundigen dat zijn werk voor 99% zeker klopte en met die kanttekening is het gepubliceerd.

En dan komen nu weer die M&M’s. Terwijl wiskundigen ploeterden op dat bewijs van het vermoeden van Kepler, kreeg natuurkundige Paul Chaikin van zijn studenten een olievat vol M&M’s. Hij praatte namelijk nogal vaak over hoe lekker hij die snoepjes vond. De natuurkundige was verbaasd over hoeveel M&M’s er in dat vat zaten. Uiteindelijk liet hij een student metingen doen en tot hun verbazing bleken de snoepjes 68% van de ruimte te bezetten: meer dan de 64% die bollen in een vergelijkbare situatie zouden innemen. Chaikin en zijn collega’s gingen een stap verder en ontwierpen afgeplatte bollen die zelfs 74% van de ruime innemen als je ze lukraak in een vat strooit. Dat is dus net zo efficiënt als die keurig gestapelde bollen van Kepler: een wiskundige doorbraak die daarnaast leidde tot nieuwe inzichten in de materiaalkunde. De resultaten verschenen in 2004 in wetenschappelijk toptijdschrift Science.

De belangrijkste conclusie hieruit is dat een stapel kanonskogels of een olievat vol M&M’s kunnen leiden tot nieuwe inzichten en dat geen onderwerp te frivool is om goed over na te denken.

[1.] In een piramidevormige stapel met als basis een gelijkzijdige driehoek met zijde n liggen natuurlijk n x (n + 1) x (n + 2)/6 kogels.

Deze column verscheen eerder in de Volkskrant

120 km/uur

‘Als wiskundige ben je de hele dag bezig om niet te struikelen over je eigen onvermogen om de dingen niet letterlijk te nemen.’ Aldus Jan Beuving vorige week tijdens een try-out van zijn nieuwe programma Raaklijn. Beuving studeerde af als tekstschrijver aan de Koningstheateracademie, maar daarvóór voltooide hij een wiskunde-studie. En dat laat zijn sporen na.

Zo is Beuving het soort artiest dat voor de zekerheid opzoekt wat de definitie van cabaret is. Volgens cabaretgrootheid Wim Ibo blijkt dat: een literair-muzikale kunstvorm, in een intieme omgeving, voor een ontwikkeld publiek. Beuving gaat de eisen na: hij heeft al wat literair-muzikale dingen gedaan, hij staat die avond in het intieme Pepijn, het enige dat hij nog nodig heeft is een ontwikkeld publiek.

Ik snap zijn behoefte aan heldere definities goed en ook de wanhoop als dingen niet kloppen. Zo vertelt Jan Beuving hoe verwarrend de snelweg is voor een wiskundige. Bijvoorbeeld als je in een honderd-kilometer-per-uur-zone rijdt en er ineens een bord langs de kant van de weg staat met: ‘Vanaf hier mag u 120 km/uur’. Dat kán dus niet. Want volgens de regels mag je tot dat bord niet harder dan honderd kilometer per uur. Je mag pas vanaf het bord versnellen, dus het duurt al snel honderd meter voor je de 120 km/uur kunt bereiken. Dus hadden ze dat bord beter een stukje verderop neer kunnen zetten. (Voor lezers die willen mailen dat dit idee niet werkt: het was een grap. Voor een ontwikkeld publiek.)

Er is nóg een probleem op de snelweg. Je hebt zones waar je overdag 120 km/uur mag en vanaf zeven uur ’s avonds 130 km/uur. Beuving vertelt hoe hij met zijn vader om kwart voor zeven zo’n zone inreed, waarop zijn vader verzuchtte: ‘Het is toch jammer dat we hier niet een kwartier later rijden, dan mochten we 130 en waren we eerder thuis.’ Waarop de zaal hard moet lachen, maar Beuving moppert dat híj dit soort dingen allemaal moet narekenen.

Vervolgens zit ik dit als ik weer thuis ben óók na te rekenen. Hoe lang moet een weg zijn zodat het verschil tussen 130 km/uur en 120 km/uur minstens een kwartier tijdwinst oplevert? Het antwoord blijkt 390 kilometer: die afstand kost bij 130 km/uur drie uur en bij 120 km/uur precies een kwartier meer. Dus als de weg langer is dan 390 kilometer, boek je meer dan een kwartier tijdwinst. Maar wacht, dat is helemaal niet de juiste som. Als je om kwart voor zeven met 120 km/uur begint, mag je na een kwartier ook 130 km/uur. De grap was ingewikkelder dan ik dacht en ik ben weer eens over mijn eigen onvermogen gestruikeld.

Eigenlijk doe ik Jan Beuving hiermee tekort, want de grappen die ik noem waren niet eens zijn beste van de avond. Zo was er bijvoorbeeld een magnifiek lied over de laatste stelling van Fermat waarin hij heldhaftig rijmt op ‘de nogal Frans geïnspireerde rijmklank -ah.’ Wie dat wil zien, moet vooral eens zelf naar het theater voor een avond cabaret zoals Wim Ibo het bedoeld heeft. Er zijn weinig dingen waar ik jaloers op ben, maar het talent van Jan Beuving is er één van.

Deze column verscheen eerder in de Volkskrant

180 gram

Als een bedankje voor een lezing kreeg ik een chocoladereep van Tony’s Chocolonely in de smaak puur-rozemarijn-sinasappel. Nog exotischer dan die combinatie van ingrediënten was de verdeling van de reep in schots en scheve brokken. Waar een doorsnee chocoladereep verdeeld is in keurige rechthoekjes, bestaat Tony’s reep uit een verzameling van brokken van verschillende grootte. Op de wikkel leggen de makers uit dat ze dit doen om de koper erop te wijzen dat het in de chocoladeketen heel ongelijk verdeeld is (lees: veel producenten knijpen cacaoboeren uit) en dat hun merk ervoor strijdt dat iedereen krijgt waar hij recht op heeft.

Leg dat maar eens uit aan een kind dat zeurt dat zijn broer een groter stuk chocolade kreeg. “Ja, lieverd. Rijkdom is ook oneerlijk verdeeld in de wereld. En die kindjes in Afrika zouden al lang blij zijn als ze een keer een stukje chocolade kregen.”

Tony’s chocoladereep is 180 gram, juist zo’n elegant gewicht, want het is in hele grammen eerlijk te verdelen onder één, twee, drie, vier, vijf of zes mensen. Zou je de ongelijke brokken misschien zo kunnen verdelen dat iedereen in een groep evenveel chocolade krijgt? Een medewerker van Tony stuurt me een handig overzichtje met de gewichten van alle stukjes. De grootste brok met het logo komt op 33 gram, een rondje is acht gram en een smal rechthoekje tien gram. Verder zijn er vooral veel kleinere stukken van vier of vijf gram. Als ik de gewichten aan het turven ben, zie ik dat het totale gewicht 179 gram is. Ai, mailt de Tony-man. Dat zal wel iets met afronding zijn, en natuurlijk vallen de losse stukken soms net een gram zwaarder of lichter uit. De hele reep zal heus altijd rond de 180 gram zijn. Alles goed en wel, maar met theoretische stukken die tot 179 gram optellen valt er weinig eerlijk te delen. Dat gewicht is namelijk een priemgetal dat alleen maar deelbaar is door één en zichzelf.

tony

Toch laat het probleem me niet los, wat zijn de ideale stukken bij een reep van 180 gram? Het mooiste zijn zestig stukken van elk drie gram, want dan kun je delen met zijn tweeën (elk 90 gram), drieën (ieder 60), vieren (elk 45), vijven (ieder 36) en zessen (elk 30). Alleen zijn de losse stukjes dan wel erg klein, bij Tony’s is het kleinste stuk vier gram. Maar met allemaal dezelfde stukken van minstens vier gram gaat het delen nooit lukken. Bestaat er een oplossing met ongelijke stukken waarmee je wél eerlijk kunt delen?

Ik puzzel een middag met potlood en papier, maar kom er niet uit. Ik vraag programmeerheld Heinze Havinga of hij me wil helpen (in ruil voor een reep chocolade). Ruim twee weken en een hoop noest rekenwerk later meldt hij juichend dat hij een oplossing heeft. Een reep met stukken van 5,5,6,8,8,9,9,10,15,16,17,20,22 en 30 gram is eerlijk te delen met één tot en met zes personen. (Wie de verdelingen wil uitpuzzelen: het is handig om te beginnen met zes groepjes van elk dertig gram.)

Dus Tony’s Chocolonely: ik adviseer jullie om in de toekomst deze fantastische verdeling te gebruiken in jullie chocoladerepen. Dan laten jullie zien dat het weliswaar oneerlijk verdeeld is in de wereld, maar dat je desondanks tóch eerlijk kunt delen.

Deze column verscheen op 14 november 2015 in de Volkskrant
Lees hier deel 2 van dit bericht.

180 gram (deel 2)

Een paar weken terug schreef ik hier over de chocoladerepen van Tony’s Chocolonely met hun schots en scheve brokken. Ik vroeg me af of een reep van 180 gram in ongelijke stukken te verdelen was op zo’n manier dat je de reep eerlijk kon delen met twee, drie, vier, vijf of zes mensen. De stukken moesten in hele grammen zijn en minstens vier gram wegen (want niemand zit te wachten op piepkleine stukjes chocolade). Om met drie mensen te delen moest je met de losse brokken bijvoorbeeld drie groepjes van elk zestig gram kunnen vormen, voor vijf mensen had je dan weer vijf groepjes van 36 gram nodig. Mij lukte het niet om een verdeling te vinden die in alle combinaties werkte en ik vroeg hulp aan Heinze Havinga. Hij maakte een computerprogramma om een oplossing te zoeken en na flink wat bruut rekenwerk meldde hij dat 5,5,6,8,8,9,9,10,15,16,17,20,22 en 30 gram een werkende verdeling is. Het kón dus wel, een oneerlijke verdeelde chocoladereep, waarmee je toch eerlijk kunt delen. Ik was reuzeblij, maar u – de lezer- was niet erg onder de indruk.

Sterker nog, u bedolf me onder uw eigen oplossingen, vaak vergezeld van enig hoongelach. Kees Bleijberg meldde een beetje verbaasd dat hij met een computerprogramma miljoenen oplossingen had gevonden, had hij de vraag soms niet goed begrepen? Diverse anderen vroegen of ik echt niet gezien had dat een reep met vier keer dertig, vier keer negen en vier keer zes gram keurig aan alle voorwaarden voldoet? Ik voelde me weer even als de student die ná het tentamen beseft hoe eenvoudig de gestelde vraag eigenlijk was.

14289102304_16bd4e2c31_b

Gelukkig vrolijkte ik snel op van al uw reacties waarin u spontaan op zoek ging naar ingewikkeldere verdelingen. Wie heeft er nu zulke slimme en enthousiaste lezers? Luuk Seelen meldde dat ik hem vier willekeurige getallen tussen 4 en 26 mocht geven en en dat hij een verdeling kon construeren die al mijn gekozen getallen bevatte. Dat kon hij inderdaad (met slim werken vanuit die vier maal 6-9-30-reep van hierboven).

Anderen mopperden dat mijn oplossing lelijk was, omdat er verschillende stukken met hetzelfde gewicht in zaten. Zij zochten een verdeling waarbij elke brok een andere grootte heeft. Prachtig was bijvoorbeeld de oplossing van René van der Aa: stukken van vijf tot en met negentien gram. Anderen zochten naar een verdeling met een zo klein mogelijk aantal verschillende brokken. Dic Sonneveld vond bijvoorbeeld deze oplossing in twaalf delen: 8,10,11,12,13,14,16, 17, 18, 19, 20 en 22 gram. Diverse lezers bewezen dat er geen oplossingen met elf verschillende stukken kan bestaan.

Guus Broekhuijsen stuurde misschien nog wel de allermooiste verdeling in. Hij tekende hoe je met de wat saaie reep met stukken van 6, 9 en 30 gram één grote reep kunt maken die je voor verschillende groepen in rechthoekige repen kunt verdelen. Of je nu met 2, 3, 4, 5 of 6 mensen bent: iedereen krijgt zijn eigen rechthoekige mini-reep.

Kortom: opties te over voor Tony’s Chocolonely als ze eens een nieuwe verdeling voor hun repen maken. Helaas liet de chocolademaker weten dat zo’n nieuwe vorm niet zo 1, 2, 3 gedaan is.

Deze column verscheen op 2 januari 2016 in de Volkskrant
Lees hier deel 1 van dit bericht.