Tag: verjaardag

Wat lijkt u de eerlijkste manier om de rekening te verdelen tussen de jarigen en de niet-jarigen?

Lezeres Pauline Schröder mailde me een heerlijk rekenprobleem. Het team waarin zij werkt bestaat uit vier collega’s (inclusief zijzelf). Bij een verjaardag gaan ze samen ergens eten, waarbij de jarige kosteloos mee mag. Vorige week was er weer zo’n etentje, alleen werden er deze keer twee verjaardagen tegelijk gevierd. Bij het afrekenen ontstond er enige verwarring, want de teamleden bleken op twee verschillende manieren uit te rekenen wat iedereen moest betalen. Het totale bedrag was 84 euro. Wat lijkt u de eerlijkste manier om de rekening te verdelen tussen de jarigen en de niet-jarigen?

Schröder dacht dat het een simpele som was: ‘De jarigen betalen elk zeven euro (één derde deel van de lunch van de jarige collega, want de eigen lunch is het cadeautje) en de niet-jarigen betalen elk 35 euro (hun eigen lunch + twee maal één derde verjaardagscadeau).’

Tot haar verbazing kwam een collega op iets anders uit: 14 euro voor de jarigen en 28 euro voor de niet-jarigen. Dit komt neer op het etentje splitsen in twee denkbeeldige losse etentjes van 42 euro voor elk van de twee jarigen. Per etentje deel je de kosten door drie: 14 euro per persoon. De niet-jarigen betalen mee aan twee van die etentjes en komen zo op 28 euro, de jarigen betalen alleen mee aan het etentje voor de andere jarige en betalen dus 14 euro.

Zelf zou ik het net als Schröder hebben uitgerekend, maar die tweede berekening klinkt ook logisch. Hoe kon het dat er twee verschillende antwoorden mogelijk leken? Ik besloot aan anderen te vragen hoe zij dit zouden doen. Een kleine niet-representatieve steekproef op Mastodon en onder mensen die ik de afgelopen week tegenkwam laat een zelfde verdeeldheid zien als in het team van Schröder. Of eigenlijk is het nog erger: 40% kwam op 14 euro voor de jarigen, 30% op 7 euro voor de jarigen en nog eens 30% kwam op nog iets anders, waarbij ik werkelijk de meest ingenieuze berekeningen voorbij zag komen.

Maar wat is nu het goede antwoord? Taaljournalist Gaston Dorren en wetenschapsfilosoof Sylvia Wenmackers overtuigden me ervan dat het ‘eerlijkste’ antwoord de 35/7 verdeling is die Schröder bedacht. Kijk daarvoor naar het totaal van een jaar, aannemend dat er steeds etentjes van 84 euro worden gehouden. Bij de verjaardag van het eerste teamlid A betalen B, C en D elk 28 euro. Bij de verjaardag van B idem, maar nu betalen A, C en D ieder dat bedrag. Daarna vieren C en D samen hun verjaardagen en betalen A en B elk 35 euro en C en D 7 euro. Als je het optelt, dan heeft iedereen aan het eind van het jaar 63 euro betaald: eerlijker kan niet.

Of nuja, eerlijker kan niet, áls je wilt dat iedereen precies hetzelfde betaalt. Iemand mopperde dat dit wel een héél Hollands en knieperig rekenprobleem was: konden die niet-jarigen niet gewoon trakteren? Daarom een tip die mijn familieleden graag toepassen: degene die het geld kan missen, sluipt tijdens de koffie weg – zogenaamd om naar de wc te gaan, maar betaalt dan stiekem voor iedereen. Niet eerlijk, maar wel heel sfeerverhogend.

Deze column verscheen op 25 november 2022 in de Volkskrant.

Ouder 63, kind 36 jaar. Hoe groot is de kans op zo’n vrolijkmakende spiegelbeeldleeftijd?

Deze week hier wat luchtig rekenwerk tussen alle verdriet en moeilijke dingen door. Het is een lezersvraag die ik de afgelopen jaren tientallen keren kreeg in allerlei varianten, bijvoorbeeld deze: ‘Mijn zoon is 36 en ik ben 63. We vinden het heel grappig dat onze leeftijden het omgekeerde van elkaar zijn. En dat gebeurt vaker! Toen hij 25 was, was ik 52, jaren eerder hadden we ook al de combinatie 14 en 41. We hopen hierna 47 en 74 te halen, en 58 en 85 en heel misschien zelfs 69 en 96. Maar is het niet bijzonder dat we dit zo hebben? En zit hier één of ander wiskundig principe achter?’

Er zijn verschillende rijtjes leeftijden die dit grappige verschijnsel van terugkerende spiegelbeeldgetallen opleveren. Ook vanuit bijvoorbeeld 35 en 53 of 37 en 73 kun je hele rijtjes spiegelbeeldleeftijden maken door steeds elf jaar voor- of achteruit te schuiven.

Dat is element 1 van dit verschijnsel: als je eenmaal een spiegelleeftijd hebt met iemand, dan heb je dat elf jaar later weer (totdat een van jullie ouder dan 100 wordt). Dat is natuurlijk niet zo gek, want 11 optellen bij zulke leeftijden, maakt domweg elk van de twee cijfers ééntje groter. In de elf jaar dat de één bijvoorbeeld van 63 naar 74 gaat, gaat de ander met de spiegelbeeldleeftijd van 36 naar 47.

Het tweede wiskundige element van dit verschijnsel is dat de twee spiegelleeftijden altijd een negenvoud schelen. Iets wat veel lezers ook hadden opgemerkt. Ik weet niet hoe ik dat verschijnsel het beste in woorden kan beschrijven, maar in formules is het heel elegant. Wie daar geen zin in heeft, kan de volgende paragraaf overslaan en door naar de vraag hoe zeldzaam dit verschijnsel is.

Als je twee spiegelbeeldgetallen onder de honderd neemt, dan kun je die schrijven als ab en ba.

Dat staat dan voor

ab = 10 x a + b

ba = 10 x b + a

Het verschil tussen deze twee getallen is

ab-ba = 10 x a+ b – (10 x b+a) = 9 x a – 9 x b = 9 x (a-b)

En dat is dus altijd een veelvoud van 9, want a-b is een geheel getal.

Tot zover de wiskundige principes achter dit vrolijkmakende verschijnsel. Hoe bijzonder is het als je dit hebt in een gezin? Ik herinnerde me ineens dat onze koning Willem-Alexander 51 was toen zijn dochter Amalia 15 werd. Hij was 36 toen zij geboren werd en zij zitten dus ook in zo’n elfjaarlijks spiegelpatroon. Zelf was ik 35 toen mijn dochter Rifka geboren werd, maar wij zitten óók in zo’n patroon. Want als zij 15 is, dan word ik (hopelijk) 51. De truc werkt dus ook als je een negenvoud min één in leeftijd scheelt.

Daarmee is de kans voor twee mensen om in zo’n spiegelpatroon te komen twee op negen. Als je een gezin van vier personen hebt, dan is de kans dat daarbinnen minstens één duo in een spiegelpatroon zit 78 procent. Het verschijnsel is dus helemaal niet zo zeldzaam, maar dat maakt het niet minder bijzonder. Zoek vooral iemand die u graag mag en waarmee u elke elf jaar qua leeftijd in spiegelbeeld bent en geniet daar dan samen van.

Deze column verscheen op 2 oktober 2020 in de Volkskrant.