Tag: delen

Hoe kan ik lekker eten écht eerlijk verdelen?

Beste Ionica,
Mijn vriendin moest als kind vaak iets lekkers delen met haar oudere broer. Dan zei hij altijd: ‘Deel jij het maar in tweeën, dan kan ik als eerste kiezen.’ Valt er in de wiskunde nog iets te redeneren tegen het gevoel dat ze als klein zusje altijd de kleinste portie kreeg?
Nel van Wageningen

Beste Nel van Wageningen,

Het principe kiezen of delen is al eeuwenoud. In het Oude Testament willen Abram en Lot hun land in twee delen splitsen om apart van elkaar te gaan wonen. Abram verdeelt het ganse land in twee delen en dan mag Lot kiezen in welk van de twee stukken hij wil wonen.

Wiskundigen formuleren dit soort verdelingsproblemen meestal in de vorm van het eerlijk snijden van een taart. Belangrijk is dat de taart heterogeen kan zijn, met bijvoorbeeld allerlei verschillende soorten decoraties erop. Ook belangrijk is dat ieder van de mensen die de taart gaan delen, verschillende voorkeuren kan hebben. De een houdt van veel slagroom, de ander wil heel graag dat marsepeinen bloempje en een derde wil gewoon een zo groot mogelijk stuk. Bij eerlijk delen is het niet nodig dat iedereen precies evenveel krijgt: de clou is dat iedereen het gevoel heeft dat hun stuk een eerlijk deel is. (Onthoud bij de rest van deze column dat het niet belangrijk is dat het om een taart gaat, het kan bijvoorbeeld ook gaan over het eerlijk verdelen van een erfenis of van huishoudelijke taken.)

Als twee personen een taart mogen verdelen, dan is de gebruikelijke oplossing dat de eerste persoon hem in twee delen snijdt die deze persoon even graag zou hebben. De andere persoon mag daarna kiezen welk van twee delen die wil. Nu kan, in theorie, geen van de twee personen jaloers zijn op de ander. De tweede persoon mocht een stuk kiezen en de eerste persoon vond allebei de stukken precies even goed.

Wiskundigen hebben in de loop der jaren allemaal uitbreidingen bedacht voor hoe je dit eerlijk delen doet met drie, vier of nog veel meer personen. Op een heerlijke dag zag ik een Duitse wiskundige het algoritme voor drie personen demonstreren met een taart die hij speciaal voor de gelegenheid had versierd met onregelmatige dotten slagroom, hier en daar wat M&M’s en ook nog een paar aardbeien. De vrijwilligers uit de zaal werden tot wanhoop gedreven door de vele stappen die nodig bleken – en door de onmogelijkheid om de taart precies zo te snijden als ze in hun hoofd hadden. Het werd een chaos met overal slagroom en kruimels. Zo gaat het vaker met wiskunde: in theorie werkt het allemaal prachtig, maar in de praktijk wordt het een kliederboel.

Uw vriendin was inderdaad in het nadeel omdat zij altijd maar moest delen, want het lukte vast niet altijd om de (spreekwoordelijke) taart precies zo te snijden als zij het het liefste zou willen. Achteraf had uw vriendin kunnen nadenken over andere voorkeuren dan alleen maar groot of klein. Als ze van chocolade hield, was een kleiner stukje taart mét een chocoladeblaadje voor haar net zoveel waard als een groter stuk zonder chocolade. Van dit soort tactieken kun je plezier hebben met een broer die altijd het grootste stuk pakt (en dit geldt dus niet alleen bij taart en ook niet alleen bij broers).

Deze column verscheen op 22 maart 2024 in de Volkskrant.

Nieuwe adviesvragen zijn van harte welkom. Liefst persoonlijke vragen die op het eerste gezicht he-le-maal niets met wiskunde te maken hebben. U kunt ze insturen via ionica@volkskrant.nl.

Lees hier ook de andere columns van de reeks.

180 gram

Als een bedankje voor een lezing kreeg ik een chocoladereep van Tony’s Chocolonely in de smaak puur-rozemarijn-sinasappel. Nog exotischer dan die combinatie van ingrediënten was de verdeling van de reep in schots en scheve brokken. Waar een doorsnee chocoladereep verdeeld is in keurige rechthoekjes, bestaat Tony’s reep uit een verzameling van brokken van verschillende grootte. Op de wikkel leggen de makers uit dat ze dit doen om de koper erop te wijzen dat het in de chocoladeketen heel ongelijk verdeeld is (lees: veel producenten knijpen cacaoboeren uit) en dat hun merk ervoor strijdt dat iedereen krijgt waar hij recht op heeft.

Leg dat maar eens uit aan een kind dat zeurt dat zijn broer een groter stuk chocolade kreeg. “Ja, lieverd. Rijkdom is ook oneerlijk verdeeld in de wereld. En die kindjes in Afrika zouden al lang blij zijn als ze een keer een stukje chocolade kregen.”

Tony’s chocoladereep is 180 gram, juist zo’n elegant gewicht, want het is in hele grammen eerlijk te verdelen onder één, twee, drie, vier, vijf of zes mensen. Zou je de ongelijke brokken misschien zo kunnen verdelen dat iedereen in een groep evenveel chocolade krijgt? Een medewerker van Tony stuurt me een handig overzichtje met de gewichten van alle stukjes. De grootste brok met het logo komt op 33 gram, een rondje is acht gram en een smal rechthoekje tien gram. Verder zijn er vooral veel kleinere stukken van vier of vijf gram. Als ik de gewichten aan het turven ben, zie ik dat het totale gewicht 179 gram is. Ai, mailt de Tony-man. Dat zal wel iets met afronding zijn, en natuurlijk vallen de losse stukken soms net een gram zwaarder of lichter uit. De hele reep zal heus altijd rond de 180 gram zijn. Alles goed en wel, maar met theoretische stukken die tot 179 gram optellen valt er weinig eerlijk te delen. Dat gewicht is namelijk een priemgetal dat alleen maar deelbaar is door één en zichzelf.

tony

Toch laat het probleem me niet los, wat zijn de ideale stukken bij een reep van 180 gram? Het mooiste zijn zestig stukken van elk drie gram, want dan kun je delen met zijn tweeën (elk 90 gram), drieën (ieder 60), vieren (elk 45), vijven (ieder 36) en zessen (elk 30). Alleen zijn de losse stukjes dan wel erg klein, bij Tony’s is het kleinste stuk vier gram. Maar met allemaal dezelfde stukken van minstens vier gram gaat het delen nooit lukken. Bestaat er een oplossing met ongelijke stukken waarmee je wél eerlijk kunt delen?

Ik puzzel een middag met potlood en papier, maar kom er niet uit. Ik vraag programmeerheld Heinze Havinga of hij me wil helpen (in ruil voor een reep chocolade). Ruim twee weken en een hoop noest rekenwerk later meldt hij juichend dat hij een oplossing heeft. Een reep met stukken van 5,5,6,8,8,9,9,10,15,16,17,20,22 en 30 gram is eerlijk te delen met één tot en met zes personen. (Wie de verdelingen wil uitpuzzelen: het is handig om te beginnen met zes groepjes van elk dertig gram.)

Dus Tony’s Chocolonely: ik adviseer jullie om in de toekomst deze fantastische verdeling te gebruiken in jullie chocoladerepen. Dan laten jullie zien dat het weliswaar oneerlijk verdeeld is in de wereld, maar dat je desondanks tóch eerlijk kunt delen.

Deze column verscheen op 14 november 2015 in de Volkskrant
Lees hier deel 2 van dit bericht.

180 gram (deel 2)

Een paar weken terug schreef ik hier over de chocoladerepen van Tony’s Chocolonely met hun schots en scheve brokken. Ik vroeg me af of een reep van 180 gram in ongelijke stukken te verdelen was op zo’n manier dat je de reep eerlijk kon delen met twee, drie, vier, vijf of zes mensen. De stukken moesten in hele grammen zijn en minstens vier gram wegen (want niemand zit te wachten op piepkleine stukjes chocolade). Om met drie mensen te delen moest je met de losse brokken bijvoorbeeld drie groepjes van elk zestig gram kunnen vormen, voor vijf mensen had je dan weer vijf groepjes van 36 gram nodig. Mij lukte het niet om een verdeling te vinden die in alle combinaties werkte en ik vroeg hulp aan Heinze Havinga. Hij maakte een computerprogramma om een oplossing te zoeken en na flink wat bruut rekenwerk meldde hij dat 5,5,6,8,8,9,9,10,15,16,17,20,22 en 30 gram een werkende verdeling is. Het kón dus wel, een oneerlijke verdeelde chocoladereep, waarmee je toch eerlijk kunt delen. Ik was reuzeblij, maar u – de lezer- was niet erg onder de indruk.

Sterker nog, u bedolf me onder uw eigen oplossingen, vaak vergezeld van enig hoongelach. Kees Bleijberg meldde een beetje verbaasd dat hij met een computerprogramma miljoenen oplossingen had gevonden, had hij de vraag soms niet goed begrepen? Diverse anderen vroegen of ik echt niet gezien had dat een reep met vier keer dertig, vier keer negen en vier keer zes gram keurig aan alle voorwaarden voldoet? Ik voelde me weer even als de student die ná het tentamen beseft hoe eenvoudig de gestelde vraag eigenlijk was.

14289102304_16bd4e2c31_b

Gelukkig vrolijkte ik snel op van al uw reacties waarin u spontaan op zoek ging naar ingewikkeldere verdelingen. Wie heeft er nu zulke slimme en enthousiaste lezers? Luuk Seelen meldde dat ik hem vier willekeurige getallen tussen 4 en 26 mocht geven en en dat hij een verdeling kon construeren die al mijn gekozen getallen bevatte. Dat kon hij inderdaad (met slim werken vanuit die vier maal 6-9-30-reep van hierboven).

Anderen mopperden dat mijn oplossing lelijk was, omdat er verschillende stukken met hetzelfde gewicht in zaten. Zij zochten een verdeling waarbij elke brok een andere grootte heeft. Prachtig was bijvoorbeeld de oplossing van René van der Aa: stukken van vijf tot en met negentien gram. Anderen zochten naar een verdeling met een zo klein mogelijk aantal verschillende brokken. Dic Sonneveld vond bijvoorbeeld deze oplossing in twaalf delen: 8,10,11,12,13,14,16, 17, 18, 19, 20 en 22 gram. Diverse lezers bewezen dat er geen oplossingen met elf verschillende stukken kan bestaan.

Guus Broekhuijsen stuurde misschien nog wel de allermooiste verdeling in. Hij tekende hoe je met de wat saaie reep met stukken van 6, 9 en 30 gram één grote reep kunt maken die je voor verschillende groepen in rechthoekige repen kunt verdelen. Of je nu met 2, 3, 4, 5 of 6 mensen bent: iedereen krijgt zijn eigen rechthoekige mini-reep.

Kortom: opties te over voor Tony’s Chocolonely als ze eens een nieuwe verdeling voor hun repen maken. Helaas liet de chocolademaker weten dat zo’n nieuwe vorm niet zo 1, 2, 3 gedaan is.

Deze column verscheen op 2 januari 2016 in de Volkskrant
Lees hier deel 1 van dit bericht.