Tag: Burkard Polster

Op hoeveel verschillende manieren kan ik mijn veters rijgen?

Beste Ionica,
Laatst zag ik tijdens een wandeling dat ik de veters van mijn twee schoenen op twee verschillende manieren had geregen. Al wandelend probeerde ik in gedachten uit te vinden op hoeveel verschillende manieren je eigenlijk je veters kunt rijgen. Dat was nog niet zo eenvoudig: bovenlangs, onderlangs, boven kruisend, onder kruisend, afijn: er zijn nogal wat mogelijkheden. Op hoeveel verschillende manieren kan ik mijn veters strikken bij een schoen met twee rijen van vijf gaatjes, waarbij elk gaatje wordt gebruikt?
Hans Jonkers

Beste Hans Jonkers,

Zo’n vijfentwintig jaar geleden piekerde wiskundige Burkard Polster over deze vraag. Polster kon niet slapen en in plaats van schaapjes te tellen, telde hij manieren om veters te rijgen. Of zoals hij in een interview zei: ‘Om te ontspannen van wiskunde, doe je meer wiskunde.’

Dat liep een beetje uit de hand, want Polster begon zich ook af te vragen wat nu de beste manier was om je veters te rijgen. In 2002 publiceerde hij zijn bevindingen in het prestigieuze wetenschappelijk tijdschrift Nature.

Polster begint zijn artikel met een reeks definities en aannamen. U eist dat elk gaatje wordt gebruikt, maar Polster gaat een stap verder. Hij verbiedt ook dat een veter achter elkaar drie gaatjes in dezelfde rij met elkaar verbindt, omdat het middelste gaatje dan niets bijdraagt aan het dichtmaken van de schoen. Hij geeft de algemene formule voor hoeveel manieren van rijgen er zijn bij 2n gaatjes, die zal ik u besparen. Voor uw geval van tien gaatjes (n=5) blijken er 51.840 verschillende mogelijkheden te zijn. Als u elke ochtend uw veters op een andere manier rijgt, dan kunt u ruim 141 jaar vooruit, voordat u in herhaling valt.

En het kan nog veel wilder, want Polster was vrij conservatief in zijn aannamen. Op Ians schoenvetersite rekent ene Ian uit dat er nog veel meer mogelijkheden zijn. Waarom zou je veter altijd bij de bovenste gaatjes moeten eindigen? Waarom zou je maar één keer door elk gaatje gaan? En waarom zou je niet de veters in een geinig patroontje weven tussen twee gaatjes in? Als je zo denkt, dan zijn er een boeljoen mogelijkheden (om mijn favoriete Donald Duck-getal te gebruiken.) Op de site van Ian kun je op een app allerlei opties proberen.

Polster heeft dus ook nog gekeken naar wat de beste manier is om je veters te rijgen. Hij concludeerde dat de ongebruikelijke vlinderdas-methode het efficiëntst is, waarbij je beurtelings tegenover elkaar liggende gaatjes recht verbindt, kruisjes maakt (dat is de vlinderdas) en een gat laat vallen door twee naast elkaar liggende gaatjes uit dezelfde rij te verbinden. Daarmee heb je de kortste veter nodig om je schoenen dicht te krijgen (handig om te weten als je veter breekt en je alleen een net te korte in huis hebt). Al is het de vraag of kort het beste is voor een veter.

Polster rekent voor dat de twee meest gebruikte manieren om veters te rijgen (kruislings zigzaggen vanaf onderen, of één kant direct naar boven halen en dan het andere eind zigzaggend naar boven werken) de stevigste varianten zijn. Kortom: dit was een uitstekende vraag, Hans Jonkers. Als u vijfentwintig jaar eerder was geweest, was dit een publicatie in Nature geworden.

Deze column verscheen op 25 april 2024 in de Volkskrant.

Nieuwe adviesvragen zijn van harte welkom. Liefst persoonlijke vragen die op het eerste gezicht he-le-maal niets met wiskunde te maken hebben. U kunt ze insturen via ionica@volkskrant.nl.

Lees hier ook de andere columns van de reeks.

De truc met de wiebelende tuintafel

Beste Ionica,

Wij hebben een wiebelende tuintafel met vier poten, maar vroeger was dit een driepotige versie. Het intrigeert mij al heel lang waarom die driepotige tafel altijd stabiel stond op ons niet volledig vlakke terras. Met een poot erbij is het een heel ander verhaal. Nu weet ik nog van mijn wiskundelessen dat twee punten een lijn vormen. Drie punten vormen een vlak – mits ze niet op één lijn liggen. En daarna weet ik het niet meer. De relatie met vier poten en een ongelijk terras is me niet helemaal duidelijk. Ik ben ervan overtuigd dat jij hier je heldere licht over kunt laten schijnen.

Hugo de Vries

Beste Hugo,

Uw inzending voldoet niet geheel aan de regels van deze rubriek, want u stelt me helemaal geen vraag. En zelfs als ik de impliciete vraag uit uw tekst haal, bent u niet op zoek naar advies. Maar ik zal doen zoals de gemiddelde reageerder op sociale media en u ongevraagd advies geven. Hier komt het: probeert u eens om uw vierpotige tafel rond het middelpunt draaien tot hij niet meer wiebelt. Als uw terras niet al te wild ongelijk is, dan werkt deze truc altijd.

Zoals u zich correct herinnert, spannen drie punten één vlak op. Voor een driepotige tafel komt dat mooi uit, want waar u de drie poten ook neerzet, de uiteinden liggen alledrie in één vlak en uw tafel zal stabiel staan (in het algemeen, onder een aantal basisaannamen over de lengte van de tafelpoten, andere eigenschappen van uw tafel en de hoogteverschillen binnen uw terras).

Bij een tafel met vier poten vormt een drietal van poten zo’n mooi stabiel geheel, maar de vierde poot bungelt er vaak bij als het vijfde wiel aan de wagen. Een tafel met drie poten op het terras en één die er in de lucht zweeft, wiebelt als u erop leunt.

Vele wiskundigen gingen u voor in deze observatie én zochten naar een oplossing. Het basisidee is al meer dan vijftig jaar oud. U draait de tafel zo om het middelpunt dat drie van de poten steeds op de grond blijven. Als de tafel een kwartslag gedraaid is, zou de vierde poot onder de grond moeten zitten. Als u het lastig vindt om zich dit voor te stellen, Oliver Knill van Harvard heeft een mooie animatie hiervan op zijn website (advies: zet uw geluid uit).

Als de vierde tafelpoot eerst boven de grond hing en daarna onder de grond zou komen, dan is dankzij de tussenwaardestelling de onvermijdelijke conclusie dat er een moment bestaat dat de vierde tafelpoot precies op de grond staat. En omdat de andere drie poten op de grond bleven, staan de vier poten van uw tafel nu alle vier op uw terras. Hij wiebelt niet meer!

En als uw terras niet al te grote hoogteverschillen heeft, dan staat hij nog recht ook. Wiskundige Burkard Polster, die dit in 2005 bewees, heeft ook nog een praktisch advies. In de praktijk gaat het draaien het makkelijkst als u de poot schuin tegenover de wiebelende poot optilt tot de twee poten ongeveer even ver van de grond zijn. En dan maar draaien tot het wiebelen stopt.

Deze column verscheen op 20 oktober 2023 in de Volkskrant.

Nieuwe adviesvragen zijn van harte welkom. Liefst persoonlijke vragen die op het eerste gezicht he-le-maal niets met wiskunde te maken hebben. U kunt ze insturen via ionica@volkskrant.nl.

Lees hier ook de andere columns van de reeks.