Categorie: Column

90

Vandaag is de begrafenis van Christel Smeets-Sonnenschein: mijn laatste oma. Ze was negentig en lag de laatste maanden in het ziekenhuis. Toen complicatie op complicatie volgde, werd duidelijk dat haar lichaam op was. Het afscheid van mijn oma kwam niet onverwacht en we beseffen dat weinig mensen het geluk hebben om hun negentigste verjaardag te vieren. En toch is er zoveel verdriet in mijn familie.

Ergens denk ik: wat hadden we dan gehoopt? Dat ze zelfs de honderd zou halen? Is dat dan wél oud genoeg om te mogen sterven? Een vriend vertelde dat toen zijn oma op 102-jarige leeftijd overleed, zijn tante in de rouwadvertentie wilde zetten: ‘Veel te vroeg is van ons weggerukt…’ Daar moest ik destijds een beetje om grinniken, maar ergens kan ik het me ook wel voorstellen. Als het je eigen lieve moeder is, dan kan zelfs 102 nog als te jong voelen.

Je merkt ook hoe je ideeën over wat ‘oud’ is langzaam veranderen als je zelf ouder wordt. Ik vroeg deze week aan mijn zesjarige zoon wat hij oud vindt. Na wat zoeken kwamen we eruit dat hij negenvijftig nog jong vindt en alles daarboven is oud. Ai.

Toen herinnerde ik me hoe ik me als puber voelde toen mijn opa Smeets overleed op zeventigjarige leeftijd. Ik was verdrietig dat zo’n lieve opa doodging, maar vond ook dat zeventig héél oud was. Inmiddels ben ik zelf twintig jaar ouder en ben ik verontwaardigd als mensen van zeventig overlijden, omdat die nog zo jong zijn.

Misschien mompelen sommige lezers nu hoofdschuddend dat ik nog steeds een jonkie ben dat niets snapt van de dood. Ik zou bijna een formule op gaan stellen voor de relatie tussen je eigen leeftijd en je beeld van wat oud is. Maar ik weet heel zeker dat er mensen zijn die dan hoofdschuddend zullen mompelen dat ik niets van het leven snap.

Los van de vraag wat oud is, lijkt er een soort rangorde te zitten in toegestaan verdriet als iemand van een bepaalde leeftijd overlijdt. Een oma van zestig die sterft, is triester dan een overgrootmoeder van negentig die overlijdt. Nog verdrietiger is het als een jonge moeder van dertig wordt weggenomen. En een kind dat sterft is onverdraaglijk. Juist wat de overledenen moeten missen, geeft zoveel verdriet. Al die jaren toekomst waarin ze nog hadden kunnen leven, al die dingen die ze nooit meer zullen meemaken. Als iemand van negentig overlijdt, zijn er naast het verdriet ook de troostrijke herinneringen aan alles wat diegene was en heeft beleefd.

Mijn oma die nu in haar kist ligt is niet alleen die uitgeputte dame van negentig. Ze is ook het meisje dat voor het eerst met haar zussen naar de kermis mag. Ze is de bakvis die verliefd wordt op mijn opa. Ze is die trotse jonge moeder die de kinderwagen met daarin mijn vader duwt. Ze is de vrouw die schaterend haar vriendinnen verslaat met het kaartspel duizenden. Zij is de lieve oma die een Mickey Mouse trui voor me breit. Ze is de weduwe die na het overlijden van haar man de hele familie meeneemt op vakantie naar een zonnig land. Zij is al die vrouwen en we huilen vandaag om alles dat ze was en om alles dat voorbij gaat.

Deze column verscheen op 28 januari 2017 in de Volkskrant

Slimme lessen

Als ik een kwartje kreeg voor elke keer dat ik hoorde dat muziek kinderen slim maakt, dan kon ik inmiddels een puike piano kopen. Toen ik zwanger was, kreeg ik regelmatig de tip om veel Mozart te draaien, zodat ik een slim kind zou krijgen. Dat zocht ik destijds uit en het bleek totale onzin. Ten eerste dringt muziek nogal vervormd door in de baarmoeder en ten tweede maakt het luisteren naar klassieke muziek kinderen echt niet slimmer.

Nu mijn kinderen alweer een paar jaar buiten mijn buik rondlopen, hoor ik regelmatig dat muziekles kinderen slimmer maakt. Overigens hoor ik dit vooral van ouders waarvan de kinderen in mini-Einsteins zijn veranderd sinds ze een instrument leren spelen.

Op zich klinkt het heel aannemelijk dat muziekles goed is voor de ontwikkeling van kinderen. Al dat oefenen, nieuwe dingen leren, dat doet vast iets met die kinderhersenen. Er is ook een dikke stapel van studies die laten zien dat kinderen die een muziekinstrument spelen beter presteren bij taal en wiskunde op school. Sterker nog: ze zijn gemiddeld ook slimmer dan kinderen die geen instrument spelen.

Alleen, wat veroorzaakt wat? Zijn het misschien toevallig de slimmere kinderen die vaker naar muziekles gaan? En hadden zij het niet net zo goed op school gedaan als ze in plaats daarvan op voetbal of ballet waren gegaan? Of als ze zelfs helemaal geen buitenschoolse activiteiten deden?

Het is tamelijk zeldzaam dat training op een bepaalde vaardigheid ook vooruitgang oplevert in een ander gebied (wat ik altijd spijtig vind om te beseffen als ik wekenlang manisch een spelletje op mijn telefoon heb gespeeld en er eindelijk fokkin goed in ben).

Wat is nu het echte effect van muziekles op kinderen? Een pas verschenen overzichtsstudie verzamelde de resultaten van bijna veertig onderzoeken naar deze vraag. In elk van deze studies werden twee vergelijkbare groepen kinderen gevolgd, waarbij de ene helft tijdens de studie aan muziekles begon en de andere helft níet. Toen de onderzoekers alle gegevens combineerden, zagen ze dat muziekles kinderen een heel klein beetje slimmer maakt en ook hun geheugen iets verbetert. Maar dat vertaalt zich niet in betere resultaten op school. En nog erger: die iets grotere slimheid en dat net wat betere geheugen zouden ook te verklaren kunnen zijn doordat een ander soort kinderen voor muziekles kiest. Daar hadden vrijwel al die studies geen rekening mee gehouden.

De overzichtsstudie concludeert zelfs dat onderzoeken die qua methode een beetje rammelden, de meest spectaculaire resultaten gaven (zoals wel vaker trouwens, het is makkelijker om te scoren als je de regels niet volgt).

Kortom: muziekles maakt kinderen waarschijnlijk niet slimmer. En dat is natuurlijk helemaal niet erg. Want het doel van die les is om kinderen te leren om een instrument te bespelen en muziek te maken. Dát is in de rest van hun leven misschien wel heel wat waardevoller dan een paar extra punten op een IQ-test.

Deze column verscheen eerder in KEK Mama

1581

In de aanloop naar de verkiezingen lijkt er elke vijf minuten een nieuw factcheck-initiatief te starten (1). Een paar voorbeelden: de StellingChecker wil de betrokkenheid van burgers bij media en politiek vergroten, Leidse studenten journalistiek controleren feiten op Nieuwscheckers, en Stemmingmakerij laat grafieken zien met de feiten achter veelgehoorde sentimenten.

Ook de kranten doen lekker mee aan de factcheck-hausse. Trouw keek laatst naar het idee van Zondag met Lubach om Nederland op plaats twee te krijgen na Trump’s America first als het om handel gaat. De conclusie van Trouw: ‘Ons land is dus te klein om zich als nummer 2 bij Donald Trump te kwalificeren.’ No shit, Sherlock.

Tijdens het RTL-debat van vorige week zaten redacteuren van NRC en Volkskrant als een malle uitspraken van de lijsttrekkers te controleren. Zo zei Jesse Klaver dat Willem van Oranje in 1581 schreef: ‘dit land zou nog geen drie dagen voortbestaan zonder godsdienstvrijheid’. Onwaar, oordeelde NRC, want het citaat dat Klaver bedoelde kwam uit 1580, was geschreven in opdracht van Willem van Oranje (in plaats van door hemzelf) en ging alleen over godsdienstvrijheid voor Calvinisten.

Soms word ik wat moedeloos van al die factcheckers. Zou iemand door de genoemde check nu anders naar Jesse Klaver kijken? Feitelijke correctheid lijkt er sowieso niet zo toe te doen, aangezien er nu een president in het Witte Huis zit waarvan volgens lokale factcheckers 70% van zijn beweringen ‘grotendeels fout’, ‘fout’, of ‘een regelrechte leugen’ is. Dat vind ik erg en ik juich het toe dat burgers gewezen worden op onwaarheden die politici verkondigen.

Alleen is het lastig dat veel zogenaamd harde feiten helemaal niet zo hard zijn. Er zijn definities gekozen, aannames gedaan en dingen weggelaten. Over al die keuzes valt te twisten. Hoe ga je daarmee om? Ga je als factchecker mee met de spreker e`n kijk je of de bewering klopt binnen de gekozen aannames? Of ga je ook kijken naar geldigheid van de gemaakte keuzes? Maar hoe doe je dat laatste zonder dat elke feitencheck uitmondt in een maandenlange studie?

Soms is het belangrijker om te discussiëren over iets anders dan de feiten. Toen president Donald Trump in een interview zei dat het martelen van terroristen ‘absoluut werkt’, berichtte deze krant dat wetenschappelijke studies laten zien dat martelen juist kan leiden tot meer onbetrouwbare informatie. Maar is dat niet de verkeerde discussie? Zou je niet tegen martelen moeten pleiten, ongeacht of het werkt?

Het is bijna alsof iemand roept: ‘De beste manier om alle peuters van Nederland te vermoorden, is om plutonium door Liga’s te mengen.’ En dat vervolgens factcheckers keurig gaan kijken of dit wel klopt door de feiten op een rijtje te zetten. Hoeveel peuters zijn er in Nederland en hoeveel daarvan eten er regelmatig Liga’s? Is er misschien een ander voedingsmiddel dat populairder is onder peuters? We willen de harde feiten! En is plutonium wel het meest geschikte manier om die kinderen te doden? Is er geen goedkoper en effectiever gif? Je kúnt het allemaal keurig checken. Maar zou je niet beter iets anders kunnen doen met dit soort uitspraken?

1. Lieve factcheckers: dit was een grapje. Als jullie dit gaan controleren, dan zul je ontdekken dat er niet écht elke vijf minuten een nieuw initiatief bijkomt.

Deze column verscheen op 4 maart 2017 in de Volkskrant

1 dode oma

De komende week is levensgevaarlijk voor de opa’s en oma’s van mijn studenten. Ik geef vrijdag namelijk een tentamen en familieleden van studenten blijken pal voor zo’n toetsmoment veel meer kans te hebben om te overlijden dan op elk ander moment van het jaar. Vooral voor oma’s is het risico enorm.

Universitair docent Mike Adams publiceerde in 1990 de resultaten van zijn jarenlange onderzoek onder Amerikaanse studenten. In weken zonder tentamen in zicht overlijden per honderd studenten gemiddeld 0,05 familieleden. De week voor een tentamen stijgt dat naar gemiddeld iets meer dan één familielid per honderd studenten. Een fikse toename die ook docenten in andere landen zien tijdens tentamenperiodes.

Vooral oma’s blijken bij bosjes te sneuvelen: de week voor een tentamen overlijden er 24 keer zoveel oma’s als opa’s. De meeste sterfgevallen vallen in families van studenten die er slecht voorstaan doordat ze bij eerdere opdrachten onvoldoendes haalden. Hoe lager de eerdere cijfers van de student, hoe hoger de kans dat er net voor het tentamen een familielid overlijdt.

Volgens Adams is de conclusie glashelder: Familieleden maken zich zóveel zorgen om de cijfers van hun verwanten, dat ze er letterlijk aan onderdoor gaan. Het is logisch dat dit juist bij de zwakkere studenten gebeurt en dit alles laat zien hoe betrokken vooral de oma’s zijn bij hun studerende kleinkinderen. Als voorbeeld van een extreem tragisch geval noemt Adams een student uit het honkbalteam die vier jaar lang elk semester minstens één oma verloor.

Wat kunnen we doen om de levens van al die oma’s te redden? Adams suggereert: geen tentamens meer geven, alleen studenten zonder familie toelaten of studenten laten verzwijgen voor hun familie dat ze op de universiteit zitten. Geen van deze oplossingen is erg bevredigend.

Gelukkig publiceerde sociaal-psycholoog Lee Jussim de resultaten van een experiment dat hij deed met zijn studenten: hij maakte het hertentamen hels moeilijk en zorgde dat de studenten hiervan op de hoogte waren. Vervolgens daalde het aantal overleden familieleden pal voor het gewone tentamen spectaculair en Jussim concludeert dat deze opzet 80% van de oma’s kan redden.

Dit is allemaal erg grappig, maar wat doe je als docent nu met de studenten die melden dat ze een tentamen niet kunnen maken door een sterfgeval in de familie? Voor hen moet je een extra herkansing organiseren en dus nieuwe tentamenvragen bedenken. Je wilt die moeite niet doen voor studenten die een dode oma verzinnen als uitvlucht. Bij mijn tentamen doen zo’n vierhonderd studenten mee, dus volgens de cijfers van Adams kan ik deze week zo’n vier overlijdensgevallen verwachten. Hoeveel daarvan zijn er dan echt? En hoe kom ik erachter welke dat zijn?

Het is nogal cru om een overlijdenskaart als bewijs te vragen aan een student die net een geliefd familielid verloor. De mooiste, menselijke oplossing komt van onderwijskundige Karen Eifler. Als een student bij haar meldt dat een naaste is overleden, dan stuurt Eifler een kaart naar de familie om hen te condoleren. Zo laat ze zien dat ze om haar studenten geeft en er is voor degenen die het zwaar hebben. Maar de studenten die een overleden familielid verzonnen als smoes om onder een tentamen uit te komen, hebben een groot probleem als hun familie ineens een condoleancekaart ontvangt. Sinds Eifler deze kaarten verstuurd, is de band met haar studenten verbeterd én durven studenten geen overleden oma meer te verzinnen als smoes.

Deze column verscheen op 18 maart 2017 in de Volkskrant

Bijna half twee

Deze week verscheen Alledaags rekenen van Marjolein Kool en Ed de Moor, twee van de vriendelijkste rekenmeesters van Nederland. Het was gek om hun boek te lezen, want sinds een paar maanden stuurt Marjolein Kool hartverscheurende emails met als onderwerp ‘Ed de Moor’. Ed kreeg eind vorig jaar een herseninfarct en Marjolein doet aan zijn vrienden verslag van zijn moeizame revalidatie. Ik ben één van die vrienden, vandaar dat ik Ed en Marjolein hier ook maar gewoon bij hun voornaam noem.

Ik ontmoette Ed in 2010 voor een interview over zijn lange loopbaan als wiskundeleraar en rekenexpert. Hij was vriendelijk en erudiet, grappig en bevlogen. Ed was destijds 77 en toen ik naar huis fietste dacht ik twee dingen: ik zou ervoor tekenen om op zijn manier ouder te worden en wat moest het geweldig zijn om iemand als Ed als vriend te hebben. Tot mijn vreugde raakten we bevriend, maar dat ouder worden blijkt nu toch behoorlijk tegen te vallen.

In het boek dat hij met Marjolein maakte is zichtbaar hoe breed zijn interesses uitwaaieren. Naast veel en degelijk rekenwerk komt er van alles voorbij. De klok van de Amsterdamse Obrechtkerk met een foutje op de wijzerplaat. Een stripje van Heinz met een vloekende en tierende zes op pootjes (Heinz: ‘Negatief getal.’) Of een kassabonnetje met een pen van €3,453. Ook de stem van Marjolein is duidelijk herkenbaar, bijvoorbeeld bij een ode aan Drs P waarmee zij eerder de gedichtenbundel Wis- en Natuurlyriek maakte. Of in een fijn gedicht over nul: ‘Nul is het aantal golven in een vijver met ijs.’ Nul is ook het aantal onderwerpen waaraan níet gerekend kan worden. Zelfs met André Rieu blijkt er iets te verzinnen: als je 41 door 333 deelt krijg je het Rieu-getal dat lijkt op een eindeloze wals.

Tot mijn verrassing stond er in het boek een foto van mijn oud-collega Jeanine Daems en mezelf. Ed maakte die foto vorige lente tijdens het kraamfeest voor mijn dochter en ik was vergeten dat hij had gevraagd of die foto in het boek mocht. Nog verbaasder was ik toen ik diezelfde avond de verzamelbundel I van Heinz las en daarin een foto aantrof van een piepjonge Ed de Moor. Tekenaars Windig en De Jong noemden hem als hun gewaardeerde wiskundeleraar. Het was alsof ik in een spiegelpaleis liep. En steeds dacht ik aan de twee auteurs van Alledaags rekenen samen in dat revalidatiehuis. Zij op bezoek, hij haperend zoekend naar de juiste woorden en getallen.

Marjolein beschrijft in haar verslagen hoe Ed soms heel scherp is en dan ineens weer iets zegt dat helemaal mis is. Bijvoorbeeld toen hij haar waarschuwde dat ze de bus van vier uur moest halen. Om vijf voor vier zei hij: ‘Je moet gaan, je hebt nog maar vijf…’ Het laatste woord kwam niet, dus Marjolein vulde aan: ‘Minuten’. Waarop Ed antwoordde: ‘Ja precies. Je moet gaan, het is bijna half twee.’ Waar kwam die half twee vandaan? Voorzichtig vroeg Marjolein of hij soms ‘vier uur’ bedoelde. Waarop Ed gepikeerd reageerde: ‘Nee ik weet wel wat vier uur is, maar ik zei toch bijna? Het is bijna half twee.’

De man die zoveel mensen leerde rekenen is de tel kwijt. Ik hoop zo dat hij hem terugvindt.

Helaas is Ed de Moor in december 2016 overleden.
Overlijdensbericht

Deze column verscheen op 16 januari 2016 in de Volkskrant

De Veiligheid van Vaccins

Op een conferentie over wetenschapscommunicatie belandde ik bij een sessie over mythes ontmaskeren. Ik verwachte iets in de stijl van het televisie-programma Myth busters met ontploffingen, maar we bleken zelf aan de slag te moeten met lastige vragen. Wat zouden we zeggen als onze zwangere schoonzus vertelt dat ze haar baby niet zal laten inenten, omdat ze bang is dat haar kind er autistisch van wordt?

In eerste instantie dacht ik dat ik niets zou zeggen. Ik ben nogal conflictvermijdend en zou geen zin hebben om de sfeer in de familie te verpesten. Ook al heb ik zelf geen seconde getwijfeld over het inenten van mijn kinderen en zou ik het liefste willen dat mijn neefje of nichtje ook zo goed mogelijk beschermd is tegen ellende als polio en kinkhoest.

In de sessie bedachten we een hele reeks argumenten vóór vaccinaties. Hoeveel levens ze redden bijvoorbeeld. In 1960 overleed wereldwijd één op de zes kinderen voor hun vijfde verjaardag. In 2015 was dat gedaald naar één op de 23 (nog steeds te veel overigens). Vaccinaties zijn één van de belangrijkste oorzaak van de dalende kindersterfte: Alleen al de inenting tegen mazelen spaart jaarlijks wereldwijd honderdduizenden kinderlevens.

Of misschien moesten we het alleen hebben over haar angst voor autisme. Als je puur naar de cijfers kijkt, dan is een verband tussen toegenomen vaccinaties en aantallen kinderen met autisme. Maar dat betekent niet dat het één het ander veroorzaakt. Het is net als met het verband tussen ijsverkoop en het aantal verdrinkingen: Hoe meer ijs er verkocht wordt, hoe meer mensen er verdrinken. Maar je kunt hieruit niet concluderen dat ijs die verdrinkingen veroorzaakt. De gegevens van meer dan een miljoen kinderen zijn bestudeerd om de bijwerkingen van vaccinaties in kaart te brengen: autisme is er daar geen van. Dit soort dingen zouden we kunnen zeggen, maar zou dat onze zwangere schoonzus overtuigen? We kwamen er in de sessie niet uit.

Later las ik het verhaal van een Canadese moeder die haar zeven kinderen niet had laten inenten, maar na een periode van twijfel alsnog die vaccinaties wilde inhalen.Voordat ze dat kon doen, kregen haar kinderen alle zeven kinkhoest. Doodziek zat het gezin een paar weken in quarantaine om niemand anders te besmetten. Gelukkig overleefden ze het allemaal en hield geen van hen er blijvende schade aan over.

De moeder vertelde later dat ze verbaasd was over hoe de pro-vaccinatie-beweging hen inwreef dat het ‘eigen schuld, dikke bult’ was. Alsof zij níet het beste voor haar kinderen wenste. Ze werd behandeld alsof ze een halve gare was waarmee je niet serieus kon praten. Achteraf wilde ze dat ze eerder met haar arts was gaan praten, want die bleek juist wél begripvol over haar twijfels en zorgen.

Als mijn schoonzus ooit zegt dat ze tegen vaccinaties is, dan zal ik dus zeggen: ‘Wat goed dat je hier over nadenkt, je wordt vast een geweldige moeder. Misschien kun je er eens over praten met je huisarts.’

Deze column verscheen eerder in KEK Mama

Om de 5 jaar gelukkig

Een collega puzzelt al weken op zijn planning voor de kerstdagen. Hij vroeg of ik een wiskundige oplossing had. Hoe plan je familiebezoeken en kerstdiners zodat iedereen tevreden is?

Het probleem is dat dit al snel over een heleboel mensen gaat. Neem een echtpaar dat graag een kerstdiner wil organiseren met hun drie volwassen kinderen. Die kinderen hebben elk een partner en die partners hebben ouders die ook een kerstdiner willen plannen. Nu gaat het al over zeven gezinsagenda’s. Daarbij komen dan weer broers en zussen kijken, die op hun beurt ook weer partners met ouders hebben, die weer andere kinderen hebben, enzovoorts. Voor je het weet ben je honderden agenda’s op elkaar aan het afstemmen.

Helaas bestaat er geen handig wiskundig schema waarmee iedereen altijd tevreden is. De kunst is om de ontevredenheid op de een of andere manier te minimaliseren. Een stel informatici boog zich over dit probleem in The Family Holiday Gathering Problem. Aan het begin van dit artikel merken de auteurs voorzichtig op dat zij met hun achtergrond niet geschikt zijn om de sociale en psychologische problemen rond familiebijeenkomsten op te lossen. Hoe ongeschikt ze daarvoor zijn, blijkt even later als ze vrolijk opmerken dat broers en zussen die met elkaar trouwen hun probleem alleen maar vereenvoudigen.

Enfin. Deze onderzoekers nemen aan dat ouders gelukkig zijn als ze met al hun kinderen tegelijk feest vieren. Het doel is om te zorgen dat het aantal achtereenvolgende feestdagen dat ouders ongelukkig zijn zo klein mogelijk is. Ze streven daarbij naar een vast schema, dat zich elke zoveel jaar herhaalt, zodat iedereen weet waar hij aan toe is.

Stel dat je zo’n schema maakt voor een groep ouders, waarbij de het grootste gezin vier kinderen heeft. Dan kun je altijd een oplossing vinden waarbij elk stel ouders om de vijf jaar gelukkig is. Maar is dat eerlijk voor ouders in deze groep die maar één kind hebben? Zou het niet beter zijn om de kans op een compleet gezin met kerst af te laten hangen van het aantal kinderen?

Uiteindelijk komen de auteurs tot een oplossing. Alleen snap ik na drie keer lezen nog steeds niet hoe ik die zou moeten uitvoeren in mijn familie. En zelfs al ik het zou snappen, dan zou ik de moed niet hebben om de moeder van mijn zwager te bellen om haar uit te leggen wat voor schema ik heb voor haar familie.

In het vrolijke zelfhulp boek The Life-Changing Magic of Not Giving a F*ck komt auteur Sarah Knight met een eenvoudige persoonlijke variant. Elk jaar moesten zij en haar man kiezen uit drie familiebijeenkomsten, tot ze een paar jaar terug besloten om het domweg te gaan rouleren. Elke bijeenkomst doen ze nu eens in de drie jaar en daar valt niet over te onderhandelen (de titel van haar boek geeft al aan hoe de auteur reageert als mensen hier boos om worden).

Ten slotte hebben logici nog een elegante oplossing voor als je gescheiden ouders hebt die niet met elkaar praten. Je zegt tegen elk van hen dat je dit jaar de complete kerst bij de ander viert. Vervolgens boek je een reis naar de Canarische eilanden en ligt op eerste kerstdag lekker in het zonnetje.

Deze column verscheen eerder in de Volkskrant

3x zo groot

Op weg naar mijn werk fiets ik langs een poster voor mega-M&M’s die ‘3x zo groot zijn’. De rest van de dag zit ik achter mijn bureau en denk aan chocolade. Dit schreeuwt om nader onderzoek. Wat zou er bedoeld worden met ‘3x zo groot’? Is de diameter drie keer zo groot? Of het totale ding?

Dat maakt namelijk nogal uit. Laten we even aannemen dat een M&M een kubus is. Een totaal onrealistische aanname, maar een beetje wiskundige laat zich daardoor niet uit het veld slaan. Bovendien maakt deze versimpeling het rekenwerk makkelijker, waardoor het onderliggende principe duidelijk wordt.

Als we beginnen met een kubus met ribben van één centimeter, dan is de inhoud van die kubus één kubieke centimeter. De oppervlakte is zes vierkante centimeter (want er zijn zes zijvlakken). Als we nu deze kubus ‘3x zo groot maken’ door elk van de ribben op te rekken naar drie centimeter, dan krijgen we een kubus met een volume van zeventwintig kubieke centimeter en een oppervlakte van vierenvijftig vierkante centimeter (zes maal negen).

Korte samenvatting voor wie de draad inmiddels helemaal kwijt is: als je een kubus vergroot door elke ribbe drie keer zo lang te maken, dan wordt het volume zeventwintig keer zo groot en de oppervlakte negen keer zo groot. Dus als je dingen vergroot, neemt het volume sneller toe dan de oppervlakte, zoals Galileo Galilei in 1638 al opmerkte.

Terug naar de chocolade. Ik haalde twee zakken M&M’s: de mega en gewone. De mega zijn overigens alleen verkrijgbaar zonder pinda, wat goed uitkomt, want ik houd niet van pinda’s. Ik legde meetlint, weegschaal en maatbekers klaar om ze eens grondig te analyseren. De diameter van de normale versie is pakweg dertien millimeter. De megaversie ziet eruit als een kleine ufo en heeft een diameter van ongeveer twintig millimeter. Dat is dus niet drie keer zo groot, maar ongeveer anderhalf.

Dan het gewicht: de normale wegen iets minder dan één gram. De mega zijn per stuk zo’n 3,2 gram. Dat is dus méér dan drie keer zo groot. Tenslotte moest ik het volume bepalen. Dat kan heel moeizaam door de hoogte te meten en een formule voor het volume van afgeplatte chocoladebollen te bepalen. Gelukkig had ik die maatbekers al klaargezet. Laagje water erin, chocolaatjes erbij en je kunt superhandig aflezen hoeveel het volume stijgt, zoals Archimedes zo’n 2.200 jaar geleden al opmerkte.

De mega’s hebben een volume van zo’n 2,5 milliliter (oftewel 2,5 kubieke centimeter). Bij de normale blijken er drie in 2,5 milliliter te gaan. De ‘3x zo groot’ van de reclame gaat blijkbaar over het volume.

Hoe kan het dan dat ze iets meer dan drie keer keer zo zwaar zijn? Waarschijnlijk komt daar dat verschijnsel van Galileo om de hoek. De mega’s hebben in verhouding minder oppervlakte en dat is waar het gekleurde suikerlaagje zit. Zou dat laagje misschien een lagere dichtheid hebben dan chocolade? Dit alles vraagt om nog meer onderzoek.

Een ander idee voor een vervolgstudie: normaal staat mega voor een factor miljoen (denk aan megawatt, dat is een miljoen watt). Dus ik hoop dat er binnenkort echte mega-M&M’s van duizend kilo komen. Ik offer me wel om op eraan te rekenen.

Deze column verscheen eerder in de Volkskrant

74% van de ruimte

Twee weken terug schreef ik hier over M&M’s. Sommige lezers mopperden dat de onderwerpen in deze rubriek wel erg frivool waren en dat zij liever iets lazen over moeilijke wiskundige problemen. Speciaal voor hen deze week een technisch stukje over een klassiek vraagstuk (mét een heuse voetnoot). En goed nieuws voor de rest: het gaat aan het einde ook weer over M&M’s.

Het klassieke vraagstuk gaat over bolstapelingen. In 1587 staarde ontdekkingsreiziger Walter Raleigh naar een piramidevormige stapel kanonskogels (je moet toch iets als je wekenlang op een schip naar Amerika zit). Raleigh vroeg zich af hoe je snel kon berekenen hoeveel kogels er in de totale stapel lagen. Zijn wiskundige assistent Thomas Harriot gaf hem de formule daarvoor. [1]

Zoals het zo vaak gaat met wiskundigen, begon Harriot zich heel andere dingen af te vragen over de stapel kanonskogels. Hoe groot waren de gaten tussen de kogels? En kon je de bollen misschien efficiënter opstapelen? Harriot speelde zijn ideeën door naar de Duitse wiskundige Johannes Kepler die in 1611 het vermoeden formuleerde dat het niet beter kon dan de gebruikelijke manier van stapelen. Elke andere schikking van even grote bollen zou gemiddeld meer ruimte ongebruikt laten.

Deze gebruikelijke stapeling heeft een ingewikkelde naam, maar je ziet hem regelmatig bij de sinaasappels op de markt. De sinaasappels liggen in een zeshoekige regelmaat en de volgende laag komt steeds in de kuiltjes van die eronder. Deze manier van stapelen vult iets meer dan 74% van de ruimte en Kepler dacht dus dat het niet efficiënter kon. Als je bollen bijvoorbeeld willekeurig in een vat gooit en een beetje schudt, gebruiken ze slechts pakweg 64% van de ruimte.

Nu volgt een flinke sprong in de tijd: in 1998 kwam er eindelijk iemand met een bewijs voor het vermoeden van Kepler. En wat voor bewijs. Thomas Hales gebruikte een computerprogramma dat losse gevallen controleert en zijn bewijs was zo gigantisch dat het controleren onmogelijk bleek. Na vier jaar zwoegen, concludeerde een team van wiskundigen dat zijn werk voor 99% zeker klopte en met die kanttekening is het gepubliceerd.

En dan komen nu weer die M&M’s. Terwijl wiskundigen ploeterden op dat bewijs van het vermoeden van Kepler, kreeg natuurkundige Paul Chaikin van zijn studenten een olievat vol M&M’s. Hij praatte namelijk nogal vaak over hoe lekker hij die snoepjes vond. De natuurkundige was verbaasd over hoeveel M&M’s er in dat vat zaten. Uiteindelijk liet hij een student metingen doen en tot hun verbazing bleken de snoepjes 68% van de ruimte te bezetten: meer dan de 64% die bollen in een vergelijkbare situatie zouden innemen. Chaikin en zijn collega’s gingen een stap verder en ontwierpen afgeplatte bollen die zelfs 74% van de ruime innemen als je ze lukraak in een vat strooit. Dat is dus net zo efficiënt als die keurig gestapelde bollen van Kepler: een wiskundige doorbraak die daarnaast leidde tot nieuwe inzichten in de materiaalkunde. De resultaten verschenen in 2004 in wetenschappelijk toptijdschrift Science.

De belangrijkste conclusie hieruit is dat een stapel kanonskogels of een olievat vol M&M’s kunnen leiden tot nieuwe inzichten en dat geen onderwerp te frivool is om goed over na te denken.

[1.] In een piramidevormige stapel met als basis een gelijkzijdige driehoek met zijde n liggen natuurlijk n x (n + 1) x (n + 2)/6 kogels.

Deze column verscheen eerder in de Volkskrant

120 km/uur

‘Als wiskundige ben je de hele dag bezig om niet te struikelen over je eigen onvermogen om de dingen niet letterlijk te nemen.’ Aldus Jan Beuving vorige week tijdens een try-out van zijn nieuwe programma Raaklijn. Beuving studeerde af als tekstschrijver aan de Koningstheateracademie, maar daarvóór voltooide hij een wiskunde-studie. En dat laat zijn sporen na.

Zo is Beuving het soort artiest dat voor de zekerheid opzoekt wat de definitie van cabaret is. Volgens cabaretgrootheid Wim Ibo blijkt dat: een literair-muzikale kunstvorm, in een intieme omgeving, voor een ontwikkeld publiek. Beuving gaat de eisen na: hij heeft al wat literair-muzikale dingen gedaan, hij staat die avond in het intieme Pepijn, het enige dat hij nog nodig heeft is een ontwikkeld publiek.

Ik snap zijn behoefte aan heldere definities goed en ook de wanhoop als dingen niet kloppen. Zo vertelt Jan Beuving hoe verwarrend de snelweg is voor een wiskundige. Bijvoorbeeld als je in een honderd-kilometer-per-uur-zone rijdt en er ineens een bord langs de kant van de weg staat met: ‘Vanaf hier mag u 120 km/uur’. Dat kán dus niet. Want volgens de regels mag je tot dat bord niet harder dan honderd kilometer per uur. Je mag pas vanaf het bord versnellen, dus het duurt al snel honderd meter voor je de 120 km/uur kunt bereiken. Dus hadden ze dat bord beter een stukje verderop neer kunnen zetten. (Voor lezers die willen mailen dat dit idee niet werkt: het was een grap. Voor een ontwikkeld publiek.)

Er is nóg een probleem op de snelweg. Je hebt zones waar je overdag 120 km/uur mag en vanaf zeven uur ’s avonds 130 km/uur. Beuving vertelt hoe hij met zijn vader om kwart voor zeven zo’n zone inreed, waarop zijn vader verzuchtte: ‘Het is toch jammer dat we hier niet een kwartier later rijden, dan mochten we 130 en waren we eerder thuis.’ Waarop de zaal hard moet lachen, maar Beuving moppert dat híj dit soort dingen allemaal moet narekenen.

Vervolgens zit ik dit als ik weer thuis ben óók na te rekenen. Hoe lang moet een weg zijn zodat het verschil tussen 130 km/uur en 120 km/uur minstens een kwartier tijdwinst oplevert? Het antwoord blijkt 390 kilometer: die afstand kost bij 130 km/uur drie uur en bij 120 km/uur precies een kwartier meer. Dus als de weg langer is dan 390 kilometer, boek je meer dan een kwartier tijdwinst. Maar wacht, dat is helemaal niet de juiste som. Als je om kwart voor zeven met 120 km/uur begint, mag je na een kwartier ook 130 km/uur. De grap was ingewikkelder dan ik dacht en ik ben weer eens over mijn eigen onvermogen gestruikeld.

Eigenlijk doe ik Jan Beuving hiermee tekort, want de grappen die ik noem waren niet eens zijn beste van de avond. Zo was er bijvoorbeeld een magnifiek lied over de laatste stelling van Fermat waarin hij heldhaftig rijmt op ‘de nogal Frans geïnspireerde rijmklank -ah.’ Wie dat wil zien, moet vooral eens zelf naar het theater voor een avond cabaret zoals Wim Ibo het bedoeld heeft. Er zijn weinig dingen waar ik jaloers op ben, maar het talent van Jan Beuving is er één van.

Deze column verscheen eerder in de Volkskrant